Ejemplos de cálculo de normas de operadores acotados.  Lema: si $x$ es un elemento de un espacio normado $X$, existe una funcional lineal $\varphi\in X'$ tal que $\|\varphi\|=1$  y $\varphi(x)=\|x\|$.

Repaso sobre convergencia en las topologías débil y débil *.. Todo operador acotado es continuo en las topologías débiles, y su transpuesto es continuo en las topologías débiles *. El mapa canónico $J:X\to X''$ es un operador isométrico. Cuando es sobreyectivo se dice que $X$ es un espacio reflexivo. $J:(X,w)\to (J(X),w^*)$ es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos, y $J(X)$ es $w^*$-denso en $X''$.

Teorema de Alaoglu:  la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio normado es $w^*$-compacto.