Course: Representaciones de grupos finitos 2022

General

Hola. Les doy la bienvenida al curso de Representaciones de Grupos Finitos, en su edición 2022.

Las clases serán teórico-prácticas, de 13:30 a 15 los lunes en el salón de Seminarios del Piso 14 del CMAT, de 13:30 a 16:30 los miércoles en el salón de Seminarios del Piso 15 del CMAT.

Este espacio será una herramienta esencial para la comunicación quienes participemos del curso.

En esta página encontrarán:

Información general del curso: programa, bibliografía, prácticos, método de aprobación.
Avance del curso y resultados de las pruebas.
Un foro de anuncios y uno de consultas.

15 August - 21 August

Lunes 15 de agosto (referencia: Cap 1 de Serre)

Definición de $\Bbbk$ -representación de $G$ . y de morfismo de representaciones, Ejemplos.
Subrepresentaciones, ejemplos.
Suma directa de representaciones y existencia del complemento directo de una representación (Teorema de Maschke, para el caso en que $char \Bbbk$ no divide a $|G|.$

Miércoles 17 de agosto (referencia: Cap 1 de Serre)

Trabajaron sobre el Repartido 1.

Suma directa y producto tensorial de representaciones. Definición, grado y matriz asociada.

Cómo pasar de una función lineal entre representaciones a un morfismo de representaciones.

Caso particular de la proyección.

Teorema de Maschke en sus distintas versiones: si $char k$ no divide a $|G|$ , entonces:

- toda subrepresentación admite complemento directo

- irreducible es equivalente a indecomponible

- toda representación de dimensión finita se descompone en suma directa de representaciones irreducibles

Lema de Schur

Repartido 1: Generalidades File

22 August - 28 August

Lunes 22: (referencia: cap 2 de Serre)

consecuencias del Lema de Schur para una función lineal cualquiera entre representaciones. Interpretación matricial.

Carácter de una transformación: definición, propiedades generales, relaciones de ortogonalidad entre los caracteres de representaciones irreducibles (sale de la interpretación matricial de arriba).

Corolarios: unicidad de la descomposición en irreducibles, caracterización de la irreducibilidad, cota superior de la cantidad de irreducibles no isomorfas. Ejemplo: representaciones irreducibles de $S_3=D_3$ .

Miércoles 24: (referencia: cap 2 y 5 de Serre)

Descomposición en irreducibles de la representación regular. Tabla de carateres de $D_3$

Consecuencias: 1) el orden de G es la suma de los cuadrados de las dimensiones de las irreducibles no isomorfas; 2) los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal del espacio de funciones complejas constantes en las clases de conjugación; 3) un grupo es abeliano si y sólo si sus representaciones irreducibles tienen dimensión 1.

Tablas de caracteres de los grupos cíclicos $C_n$ y del grupo diedral $D_4$ .

Repartido 2: Caracteres File

29 August - 4 September

Lunes 29/08 (referencia: capítulos 3 y 5 de Serre)

Dimensiones de las representaciones irreducibles de $G$ según un subgrupo abeliano $A$ .

Corolario: las irreducibles de $D_n$ tienen dimensión 1 o 2.

Representaciones irreducibles de $D_n$ .

Producto tensorial de representaciones de $G_1$ y $G_2$ como representación de $G_1\times G_2$ .

Miércoles 31/08 (referencia: capítulo 3 de Serre)

Representaciones irreducibles de $G_1\times G_2$ .

Representación de $G$ inducida por una representación de $H$ : definición, unicidad (a partir de una propiedad universal) y existencia (construcción explícita).

Repartido 3: Representaciones inducidas File

5 September - 11 September

Lunes 5/09 (Referencia: capitulo 3 de Serre)

Repasamos la definición de Representación Inducida, su unicidad y su construcción.

Ejemplos de cálculo de representaciones inducidas.

Adjunción (doble) Res-Ind y reciprocidad de Frobenius.

Miércoles 7/09 (Referencia: capítulo 7 de Serre y apartados 10.11, 10.17 de Curtis-Reiner)

Cálculo de $Res^G_H (Ind^G_H (W,\theta))$ en función de representaciones de $xHx^{-1}\cap H$ sobre el espacio vectorial $W$ .

Deducción del criterio de irreducibilidad de Mackey.

Definición y ejemplos de $\Bbbk$ -álgebra, $\Bbbk$ -subálgebra, $A$ -módulo a izquierda (derecha) $A-B$ bimódulo.

12 September - 18 September

Lunes 12: no hubo clase

Miércoles 14 (Referencia: Sección 7.1 y secciones 6.3 a 6.5 de Serre)

Producto tensorial en bimódulos, functores $Res^A_B$ y $Ind^A_B$ para $B$ subálgebra de $A$ .

Álgebra $\Bbbk G$ y su centro.

Isomorfismo de $C$ -álgbras entre $CG$ y $\oplus_{i\in I} End(V_i)$ para $\{V_i\mid i\in I\}$ conjunto completo de representaciones no isomorfas dos a dos.

Restricción de dicho isomorfismo a $\varphi: Cent(\mathbb C G)\cong \mathbb C ^{|I|}$ .

Números algebraicos y enteros de una $\mathbb C$ -álgebra conmutativa $R$ . Caracterización de dichos enteros y prueba de que forman un subanillo de $R$ .

Usando que $\varphi$ lleva enteros en enteros, probaremos que el orden de cada representación irreducible divide al orden de $G$ .

19 September - 25 September

Lunes 19 de setiembre (Referencia: secciones 6.3 a 6.5 de Serre)

Repaso de la caracterización de un entero en una $\mathbb C$ -álgebra conmutativa:

(i) $r\in R$ es entero

(ii) el anillo $\mathbb Z[r]$ es finitamente generado como $\mathbb Z$ -módulo,

(iii) $r\in R'$ siendo $R' \subseteq R$ finitamente generado como $\mathbb Z$ -módulo

(iv) $\mathbb Z[r]\subseteq R'$ , siendo $R'\subseteq R$ finitamente generado como $\mathbb Z$ -módulo

(para (iv) implica (i) usamos la noetherianidad de $\mathbb Z$ )

Usando estas ideas, terminamos la prueba de que la dimensión de una representación irreducible divide al orden de $G$ y probamos luego que también divide al orden de $G/Z(G)$ .

Definimos las componentes isotìpicas de una representación y probamos que son únicas.

26 September - 2 October

Lunes 26 (referencia: secciones 2.6 y 8.1 de Serre)

Componentes isotípicas de una representación.

Representación $gW$ para $W\leq Res^G_N (V)$ , siendo $N$ subgrupo normal de $G$ .

Lema: si $N$ es un subgrupo normal de $G$ y $V$ una representación irreducible de $G$ , entonces o bien su restricción a $N$ es isotípica, o bien existe un subgrupo $H$ que contiene a $N$ tal que $V$ es inducida por una representación de $H$ .

Se deduce del lema que si $N$ es un subgrupo de $G$ normal y abeliano, entonces toda representación irreducible de $G$ tiene dimensión que divide a $|G:N|$ .

Revisamos ejercicios.

Miércoles 28: Parcial 1

Parcial 1 Assignment

3 October - 9 October

Lunes 3 de octubre (capítulo 1 hasta 1.9)

Generalidades en anillos: ideales, divisores de cero, invertibles. Ejemplos varios. k-anillo generado por un conjunto, k-anillo generado por un conjunto con relaciones, k-anillo de polinomios, k-anillo de series de potencia, k-anillo de series de Laurent. Torcimiento del producto por derivaciones y por morfismos de anillos.

(Disculpen la malísima clase de hoy, espero que no suceda de nuevo. En general soy desordenada, o informal a propósito, pero en este curso pasa que está siendo un semestre muy difícil a nivel personal, y eso me distorsiona. )

Está subido el Repartido 4 con nueva versión de martes de mañana.

Miércoles 5 de octubre: huelga

Repartido 4: Anillos y R-álgebras File

10 October - 16 October

Lunes 10: feriado

Miércoles 12 (artículo Largos de cadenas)

Condiciones de cadena en conjuntos parcialmente ordenados y en módulos a izquierda.

Para $N$ submódulo de $M$ , se tiene que $M$ es noetheriano (artiniano) si y sólo si $N$ y $M/N$ lo son.

Todo módulo noetheriano es finitamente generado.

Longitud de un módulo.

Todo módulo noetheriano y artiniano tiene longitud finita.

Largos de cadenas File

17 October - 23 October

Lunes 17/10 (referencia principal: Chain lengths)

Longitud de un módulo.

Si $M$ tiene longitud finita, todo submódulo estricto tiene dimensión menor estricta que la de $M$ . Consecuencia: toda serie de composición de M tiene el mismo largo.

longitud finita equivale a noetheriano + artiniano

Preservación y reflejo de longitud finita por sucesiones exactas cortas. Aditividad de la longitud por sucesiones exactas cortas.

Sobre cuerpos, la longitud es la dimensión y noetheriano equivale a artiniano y a dimensión finita.

Ejemplos de módulo artiniano no noetheriano, de módulos noetheriano no artiniano, de módulos de longitud finita (uno que es suma finita de irreducibles y otro que no).

Miércoles 19/10: huelga

Repartido 5: Condiciones de cadena en anillos y módulos File

24 October - 30 October

Lunes 24/10 (referencia: sección 2 del capítulo 1 del libro de Lam)

Módulo simple y módulo semisimple.

Todo módulo irreducible es semisimple.

Todo submódulo y todo cociente de un semisimple es semisimple.

Todo módulo semisimple contiene un submódulo maximal.

Son equivalentes para un módulo no nulo: M es semisimple, M es suma directa de simples, M es suma de simples.

Miércoles 24/10 (referencia: sección 3 del capítulo 1 del Libro de Lam)

Sucesiones exactas cortas que escinden vs módulos semisimples, proyectivos, inyectivos.

Teorema de Jordan-Holder.

Semisimple implica noetheriano y artiniano, el recíproco no es cierto.

Definición-Teorema de caracterización de anillos semisimples a izquierda.

Semisimplicidad de $\Bbbk G$ , repaso del Teorema de Maschke (referencia adjunta)

Semisimple a izquierda implica artiniano a izquierda y noetheriano a izquierda.

Anillo de matrices sobre un anillo con división $D$ : es simple, semisimple, isotípico, toda representación es isomorfa a $D^n$ y su anillo de endomorfismos es $D^{op}$ .

Producto de anillos semisimples a izquierda es semisimple a izquierda.

Enunciado del Teorema de Wedderburn-Artin.

31 October - 6 November

Lunes 31/10 (referencia: sección 3 del cap 1 del Lam)

Teorema de Wedderburn-Artin

Anillos simples: ejemplo de uno no semisimple y caracterización de los semisimples

(vamos a retomar esto la clase que viene, por ahora dejo el Repartido como está)

Miércoles 2/11: feriado

Repartido 6- semisimplicidad File

7 November - 13 November

Lunes 7/11:

Repaso de la clase anterior: Teo de Wedderburn-Artin (capítulo 1, sección 3, Lam)

Aplicación: estructura de anillos simples artinianos (capítulo 1, sección 3, Lam)

Caso particular: estructura de álgebras de dimensión finita semisimples (referencia adjunta abajo)

Caso particular: estructura de $\mathbb C G$ con G de dimensión finita, reencontramos lo que sabíamos de la primera parte del curso.

Todo anillo conmutativo artiniano es noetheriano (prueba en documento adjunto)

Observación: los módulos sobre un álgebra de monoide admiten un producto (cuyo soporte es el producto tensorial de espacios vectoriales) que es asociativo y con neutro. Si además el monoide tiene inversos, los módulos de dimensión finita admiten dual (referencia en Rep 7).

Miércoles 9/11:

Categorías y functores. Categorías monoidales. Ejemplos. Álgebra en una categoría monoidal. (no se pide para el oral)

Coálgebra en $Vec_\Bbbk$ . Definición y ejemplo de coálgebra de polinomios $\Bbbk[x]$ (referencia de prueba en Rep 7)

14 November - 20 November

Lunes 14/11: definición de $\Bbbk$ -álgebra y $\Bbbk$ -coálgebra, repaso. Definición de $\Bbbk$ -biálgebra. Ejemplos. Representaciones de una $\Bbbk$ -bi\'algebra. Ideas de la definición de $\Bbbk$ -álgebra de Hopf.

21 November - 27 November

Lunes 21: clase de consulta

Miércoles 23: Parcial 2.

Parcial 2 Assignment

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