Weekly outline

  • Hola. Les doy la bienvenida al curso de Representaciones de Grupos Finitos, en su edición 2022.

    Las clases serán teórico-prácticas, de 13:30 a 15 los lunes en el salón de Seminarios del Piso 14 del CMAT, de 13:30 a 16:30 los miércoles en el salón de Seminarios del Piso 15 del CMAT.

    Este espacio será una herramienta esencial para la comunicación quienes participemos del curso. 
    En esta página encontrarán: 
    • Información general del curso: programa, bibliografía, prácticos, método de aprobación.
    • Avance del curso y resultados de las pruebas.
    • Un foro de anuncios y uno de consultas.


  • 15 August - 21 August


    Lunes 15 de agosto (referencia: Cap 1 de Serre)

    Definición de \Bbbk-representación de G. y de morfismo de representaciones, Ejemplos. 
    Subrepresentaciones, ejemplos.
    Suma directa de representaciones y existencia del complemento directo de una representación (Teorema de Maschke, para el caso en que char \Bbbk no divide a |G|.


    Miércoles 17 de agosto (referencia: Cap 1 de Serre)

    Trabajaron sobre el Repartido 1.

    Suma directa y producto tensorial de representaciones. Definición, grado y matriz asociada.

    Cómo pasar de una función lineal entre representaciones a un morfismo de representaciones.

    Caso particular de la proyección. 

    Teorema de Maschke en sus distintas versiones: si char k no divide a |G|, entonces:

    - toda subrepresentación admite complemento directo

    - irreducible es equivalente a indecomponible

    - toda representación de dimensión finita se descompone en suma directa de representaciones irreducibles

    Lema de Schur 

  • 22 August - 28 August

    Lunes 22:  (referencia: cap 2  de Serre)

    consecuencias del Lema de Schur para una función lineal cualquiera entre representaciones. Interpretación matricial. 

    Carácter de una transformación: definición, propiedades generales, relaciones de ortogonalidad entre los caracteres de representaciones irreducibles (sale de la interpretación matricial de arriba). 

    Corolarios: unicidad de la descomposición en irreducibles, caracterización de la irreducibilidad, cota superior de la cantidad de irreducibles no isomorfas. Ejemplo: representaciones irreducibles de S_3=D_3.

    Miércoles 24: (referencia: cap 2 y 5 de Serre)

    Descomposición en irreducibles de la representación regular. Tabla de carateres de D_3 

    Consecuencias: 1) el orden de G es la suma de los cuadrados de las dimensiones de las irreducibles no isomorfas; 2) los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal del espacio de funciones complejas constantes en las clases de conjugación; 3) un grupo es abeliano si y sólo si sus representaciones irreducibles tienen dimensión 1. 

    Tablas de caracteres de los grupos cíclicos C_n y del grupo diedral D_4.


  • 29 August - 4 September

    Lunes 29/08 (referencia: capítulos 3 y 5 de Serre)

    Dimensiones de las representaciones irreducibles de G según un subgrupo abeliano A.

    Corolario: las irreducibles de D_n tienen dimensión 1 o 2.

    Representaciones irreducibles de D_n.

    Producto tensorial de representaciones de G_1 y G_2 como representación de G_1\times G_2.

    Miércoles 31/08 (referencia: capítulo 3 de Serre)

    Representaciones irreducibles de G_1\times G_2.

    Representación de G inducida por una representación de H: definición, unicidad (a partir de una propiedad universal) y existencia (construcción explícita).

  • 5 September - 11 September

    Lunes 5/09 (Referencia: capitulo 3 de Serre)

    Repasamos la definición de Representación Inducida, su unicidad y su construcción. 

    Ejemplos de cálculo de representaciones inducidas.

    Adjunción (doble) Res-Ind y reciprocidad de Frobenius.

    Miércoles 7/09 (Referencia: capítulo 7 de Serre y apartados 10.11, 10.17 de Curtis-Reiner)

    Cálculo de Res^G_H (Ind^G_H (W,\theta)) en función de representaciones de xHx^{-1}\cap H sobre el espacio vectorial W.  

    Deducción del criterio de irreducibilidad de Mackey. 

    Definición y ejemplos de \Bbbk-álgebra, \Bbbk-subálgebra, A-módulo a izquierda (derecha) A-B bimódulo. 

  • 12 September - 18 September

    Lunes 12: no hubo clase

    Miércoles 14 (Referencia: Sección 7.1 y secciones 6.3 a 6.5 de Serre)

    Producto tensorial en bimódulos, functores Res^A_B y Ind^A_B para  B subálgebra de A.

    Álgebra \Bbbk  G y su centro. 

    Isomorfismo de C-álgbras entre CG y \oplus_{i\in I} End(V_i) para \{V_i\mid i\in I\} conjunto completo de representaciones no isomorfas dos a dos. 

    Restricción de dicho isomorfismo a \varphi: Cent(\mathbb C G)\cong \mathbb C ^{|I|}.  

    Números algebraicos y enteros de una \mathbb C-álgebra conmutativa R. Caracterización de dichos enteros y prueba de que forman un subanillo de R

    Usando que \varphi lleva enteros en enteros, probaremos que el orden de cada representación irreducible divide al orden de G.


  • 19 September - 25 September

    Lunes 19 de setiembre (Referencia: secciones 6.3 a 6.5 de Serre)

    Repaso de la caracterización de un entero en una \mathbb C-álgebra conmutativa: 

    (i) r\in R es entero 

    (ii) el anillo \mathbb Z[r] es finitamente generado como \mathbb Z-módulo,

    (iii) r\in R' siendo R' \subseteq R finitamente generado como \mathbb Z-módulo 

    (iv) \mathbb Z[r]\subseteq R', siendo R'\subseteq R finitamente generado como \mathbb Z-módulo

    (para (iv) implica (i) usamos la noetherianidad de \mathbb Z)


    Usando estas ideas, terminamos la prueba de que la dimensión de una representación irreducible divide al orden de G y probamos luego que también divide al orden de G/Z(G).

    Definimos las componentes isotìpicas de una representación y probamos que son únicas. 


  • 26 September - 2 October

    Lunes 26 (referencia: secciones   2.6 y 8.1 de Serre)

    Componentes isotípicas de una representación.

    Representación gW para W\leq Res^G_N  (V), siendo N subgrupo normal de G.

    Lema: si N es un subgrupo normal de G y V una representación irreducible de G,  entonces o bien su restricción a N es isotípica, o bien existe un subgrupo H que contiene a N tal que V es inducida por una representación de H.

    Se deduce del lema que si N es un subgrupo de G normal y abeliano, entonces toda representación irreducible de G tiene dimensión que divide a |G:N|.

    Revisamos ejercicios. 

    Miércoles 28: Parcial 1



  • 3 October - 9 October

    Lunes 3 de octubre (capítulo 1 hasta 1.9)

    Generalidades en anillos: ideales, divisores de cero, invertibles. Ejemplos varios. k-anillo generado por un conjunto, k-anillo generado por un conjunto con relaciones, k-anillo de polinomios, k-anillo de series de potencia, k-anillo de series de Laurent. Torcimiento del producto por derivaciones y por morfismos de anillos.

    (Disculpen la malísima clase de hoy, espero que no suceda de nuevo. En general soy desordenada, o informal a propósito, pero en este curso pasa que está siendo un semestre muy difícil a nivel personal, y eso me distorsiona. )

    Está subido el Repartido 4 con nueva versión de martes de mañana.

    Miércoles 5 de octubre: huelga

  • 10 October - 16 October

    Lunes 10: feriado

    Miércoles 12 (artículo Largos de cadenas)

    Condiciones de cadena en conjuntos parcialmente ordenados y en módulos a izquierda. 

    Para N submódulo de M, se tiene que M es noetheriano (artiniano) si y sólo si N y M/N lo son.

    Todo módulo noetheriano es finitamente generado.

    Longitud de un módulo.

    Todo módulo noetheriano y artiniano tiene longitud finita.

  • 17 October - 23 October

    Lunes 17/10 (referencia principal: Chain lengths)

    Longitud de un módulo. 

    Si M tiene longitud finita, todo submódulo estricto tiene dimensión menor estricta que la de M. Consecuencia: toda serie de composición de M tiene el mismo largo. 

    longitud finita equivale a noetheriano + artiniano

    Preservación y reflejo de longitud finita por sucesiones exactas cortas. Aditividad de la longitud por sucesiones exactas cortas.

    Sobre cuerpos, la longitud es la dimensión y noetheriano equivale a artiniano y a dimensión finita.

    Ejemplos de módulo artiniano no noetheriano, de módulos noetheriano no artiniano, de módulos de longitud finita (uno que es suma finita de irreducibles y otro que no).

    Miércoles 19/10: huelga

  • 24 October - 30 October

    Lunes 24/10 (referencia: sección 2 del capítulo 1 del libro de Lam)

    Módulo simple y módulo semisimple.

    Todo módulo irreducible es semisimple.

    Todo submódulo y todo cociente de un semisimple es semisimple.

    Todo módulo semisimple contiene un submódulo maximal.

    Son equivalentes para un módulo no nulo: M es semisimple, M es suma directa de simples, M es suma de simples.

    Miércoles 24/10 (referencia: sección 3 del capítulo 1 del Libro de Lam)

    Sucesiones exactas cortas que escinden vs módulos semisimples, proyectivos, inyectivos.

    Teorema de Jordan-Holder.

    Semisimple implica noetheriano y artiniano, el recíproco no es cierto.

    Definición-Teorema de caracterización de anillos semisimples  a izquierda.

    Semisimplicidad de \Bbbk G, repaso del Teorema de Maschke (referencia adjunta)

    Semisimple a izquierda implica artiniano a izquierda y noetheriano a izquierda.

    Anillo de matrices sobre un anillo con división D: es simple, semisimple, isotípico, toda representación es isomorfa a D^n y su anillo de endomorfismos es D^{op}.

    Producto de anillos semisimples a izquierda es semisimple a izquierda.

    Enunciado del Teorema de Wedderburn-Artin.


  • 31 October - 6 November

    Lunes 31/10 (referencia: sección 3 del cap 1 del Lam)

    Teorema de Wedderburn-Artin

    Anillos simples: ejemplo de uno no semisimple y caracterización de los semisimples

    (vamos a retomar esto la clase que viene, por ahora dejo el Repartido como está)

    Miércoles 2/11: feriado


  • 7 November - 13 November

    Lunes 7/11:

    Repaso de la clase anterior: Teo de Wedderburn-Artin (capítulo 1, sección 3, Lam)

    Aplicación: estructura de anillos simples artinianos (capítulo 1, sección 3, Lam)

    Caso particular: estructura de álgebras de dimensión finita semisimples (referencia adjunta abajo)

    Caso particular: estructura de \mathbb C G con G de dimensión finita, reencontramos lo que sabíamos de la primera parte del curso.

    Todo anillo conmutativo artiniano es noetheriano (prueba en documento adjunto)

    Observación: los módulos sobre un álgebra de monoide admiten un producto (cuyo soporte es el producto tensorial de espacios vectoriales) que es asociativo y con neutro. Si además el monoide tiene inversos, los módulos de dimensión finita admiten dual (referencia en Rep 7).

    Miércoles 9/11:

    Categorías y functores. Categorías monoidales. Ejemplos. Álgebra en una categoría monoidal. (no se pide para el oral)

    Coálgebra en Vec_\Bbbk. Definición y ejemplo de coálgebra de polinomios \Bbbk[x] (referencia de prueba en Rep 7)

  • 14 November - 20 November

  • 21 November - 27 November

    Lunes 21: clase de consulta

    Miércoles 23: Parcial 2