Ahí va. La estrategia en general sería la siguiente.
Al inicio tenés una integral de la forma $I(r)=\int_0^r f(r')dr'$ y otra de la forma $J(r')=\int_r^\infty g(r')dr'$. Entonces, cuando querés la aproximación en $r\to\infty$ escribís $I(r)=\int_0^\infty f(r')dr'-\int_r^\infty f(r')dr'$ y probás que el segundo término es pequeño con respecto al primero, al igual que $J(r)$. Cuando querés hacer la aproximación de $r$ entonces escribís $I(r)$ como una expansión en $r$ y $J(r)=\int_0^\infty g(r')dr'-\int_0^r g(r')dr'$ y escribís el segundo término como una expansión en $r$. En este ejercicio hay que quedarse sólo hasta el orden $r^2$.

De forma alternativa, en este ejemplo ambas integrales pueden resolverse de forma exacta integrando por partes (varias veces). Entonces se puede hacer la aproximación luego del cálculo.