Matemática Discreta 2021: Dudas para el parcial

Las voy a ennumerar e intentar ser lo más explicativo posible:
1) Práctico 3. Ej 3, relación 3 (P(U)): no entiendo cuál es la relación de equivalencia.
2)Una relación puede ser antisimétrica y simétrica a la vez? Por la def. de las propiedades me sonaría a que no, porque la simetría es para todos y la antisimetría también, pero es como un caso borde, aunque no estoy seguro. A su vez pensé lo siguiente pero no sé si es correcto. Conviene estudiar siempre primero la asimetría, si es asimétrica, no es simétrica, es anti simétrica y es irreflexiva, y por lo tanto no reflexiva. Usando la lógica para lo anterior: si p-->q, -p-->-q. Sea las asimetría p y la simetría q (o viceversa), si es asimétrica no es simétrica; entonces si es simétrica no puede ser asimétrica, entonces tampoco podría ser antisimétrica. Por lo tanto no podrían cumplirse ambas propiedades en una misma relación.
3)Relacionado con lo anterior, puede ser una relación de orden y de eq. a la vez? De nuevo, supongo que no pero no sé, si fuera posible sólo podría ser un orden amplio.

Re: Dudas para el parcial

por Bentancur Rodriguez Leandro - segunda-feira, 17 mai. 2021, 16:03

Hola Pedro,
Te respondo en orden también:

1) En

$\mathcal{P} (U)$ , dos conjuntos

$A$ y

$B$ están relacionados si y sólo sí

$A \cap X = B \cap X$ .
Por ejemplo si

$U$ son los números naturales y

$X$ es el conjunto de los pares, entonces dos subconjuntos de los naturales

$A$ y

$B$ van a estar relacionados si

$A \cap X = B \cap X$ , y esto es si los pares que pertenecen a

$A$ están incluídos en

$B$ y viceversa. Espero el ejemplo te ayude, sino consultá nomás de nuevo.

2) Si una relación

$\mathcal{R}$ en

$X$ es simétrica y antisimétrica, dados

$x,y \in X$ tal que

$x \mathcal{R} y$ , por lo primero tenemos que

$y \mathcal{R} x$ , y con lo segundo obtenemos

$x = y$ . Entonces si dos elementos están relacionados son iguales.
Sobre lo que planteaste, lo correcto es que

$p$ implica

$q$ es equivalente a

$\neg q$ implica

$\neg p$ . De ahí el error luego en la deducción, porque una relación puede no ser asimétrica pero sí ser antisimétrica (por ejemplo la relación de menor o igual en los enteros).

3) Creo que la duda iba por la parte del 2, pero cualquier cosa amplío la respuesta nomás.

Saludos,
Leandro