Hola Pedro,
Te respondo en orden también:

1) En $\mathcal{P} (U)$, dos conjuntos $A$ y $B$ están relacionados si y sólo sí $A \cap X = B \cap X$.
Por ejemplo si $U$ son los números naturales y $X$ es el conjunto de los pares, entonces dos subconjuntos de los naturales $A$ y $B$ van a estar relacionados si $A \cap X = B \cap X$, y esto es si los pares que pertenecen a $A$ están incluídos en $B$ y viceversa. Espero el ejemplo te ayude, sino consultá nomás de nuevo.

2) Si una relación $\mathcal{R}$ en $X$ es simétrica y antisimétrica, dados $x,y \in X$ tal que $x \mathcal{R} y$, por lo primero tenemos que $y \mathcal{R} x$, y con lo segundo obtenemos $x = y$. Entonces si dos elementos están relacionados son iguales.
Sobre lo que planteaste, lo correcto es que $p$ implica $q$ es equivalente a $\neg q$ implica $\neg p$. De ahí el error luego en la deducción, porque una relación puede no ser asimétrica pero sí ser antisimétrica (por ejemplo la relación de menor o igual en los enteros).

3) Creo que la duda iba por la parte del 2, pero cualquier cosa amplío la respuesta nomás.

Saludos,
Leandro