está buenísimo, Pedro.
hago dos comentarios 
1) Un DFU (prefiero llamarle así) siempre verifica irreducible=primo, aunque no necesariamente debe ser noetheriano como vimos ayer.
Entonces , de los tres conjuntos de abajo, solo el del medio tiene intersección con los DFU. Si podés, arreglá esto.

2) Por otra parte, un ejemplo de algo que no es un DFU porque falla la existencia de la descomposición! Los polinomios con coeficientes en $\mathbb Q$ cuyo t\'ermino independiente es entero. Fíjense que ahí $X$ no es irreducible ni es producto de irredubles (ejercicio).
Este anillo es no noetheriano (ejercicio usando las ideas de arriba para construir una cadena ascendente infinita). Además, pueden probar que todo irreducible es primo.

Así que este es un ejemplo que está en el conjunto del medio y no es DFU.

Nos falta un ejemplo de no noetheriano con algún irreducible no primo. Supongo que puede construirse tomando D noetheriano con irreducible no primo y construyendo el anillo de polinomios con infinitas variables en D.

Está bueno el ejercicio de completar todos los casilleros después de que Pedro edite el dibujo. De todo para pensar!