Buenas.

Está muy bien la idea. Habría que formalizar un poco más eso de que seguís hasta que el proceso termina (estás utilizando cosas que son obvias pero que matemáticamente nonlas probamos), pero la idea está bien.

Una prueba un poco más directa puede ser: Sean $f$ la biyección de $B$ a $\{1,\dots,n\}$, $g:A \longrightarrow B$ la función inclusión ($g(x)=x$ para todo x) y considerás $h=f\circ g: A\longrightarrow \{1,\dots, n\}$. $h$ es inyectiva por ser la composición de dos inyectivas. Si $h$ es sobreyectiva, ya ganaste. Si no lo es, agarrás una función $p$ que te cambie el orden de los números 1...n (una función así se llama una permutación) para que a los elementos de la imagen de $h$ los mande a los primeros $m$ números y los que no están en la imagen a los $n-m$ últimos (esta función podés construirla porque estamos hablando de números). Ahora, componés $p\circ h$ que es inyectiva. Restringís el condominio de esa función para que te quede biyectiva y los elementos que te quedan son 1...m, porque los que no estaban en la imagen los mandaste a los últimos. Ahora tenés una biyección de $A$ en $\{1,\dots ,n\}$ y el ejercicio terminó.