Buenas!

Hoy en clase estuvimos hablando algunas ideas del problema 6. Sin embargo les dije una cosa mal, debido a que interpreté mal la letra, y esto es que son las fuerzas de resistencia debidas al aire y al suelo las que son, respectivamente, cuadrática en la velocidad e independiente de la velocidad, y no las potencias asociadas a las mismas.

Entonces, tenemos que las fuerzas son:

$F_{aire}=\alpha v^2$ 

$F_{rueda}=F_0=\text{cte}$

La potenica disipada es entonces:

$P_P(v)=vF=v(F_{aire}+F_{ruedas})=\alpha v^3+F_0v$

Sabemos que cuando la velocidad vale $v=v_0=65km/h$ las potencias disipadas por el roce con el aire y por la deformación, coinciden:

$F_0=\alpha v_0^2$

$P_P(v)=F_0v(\frac{v^2}{v_0^2}+1)$

Cuando el auto circula a velocidad constante, emplea toda la potencia del motor en compensar las pérdidas - pues la energía cinética no varía - y entonces  la potencia consumida.

Podemos comparar  los consumos si se duplica la velocidad:

$\frac{P_P(2v_0)}{P_P(v_0)}=\frac{2v_0}{v_0}\frac{1+4}{2}\frac{v_0^2}{v_0^2}=5$

Por otro lado, para el rendimiento por litro, tenemos que:

$\text{Pot}=k\frac{\Delta\text{Vol}_{nafta}}{\Delta t}$

esto es que la potencia obtenida por el motor es proporcional al combustible consumido - en un modelo muy simple.

Usando esto en la ecuación para la potencia que teníamos antes:

$\Delta \text{Vol}_{nafta}=(Pot)\frac{1}{k}\Delta t$

y entonces el rendimiento por litro de nafta es algo como:

$\frac{\Delta x}{\Delta Vol}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\frac{k}{Pot}=k\frac{v}{Pot(v)}$

Pueden entonces, usando de nuevo que cuando la velocidad no varía toda la potencia del motor se gasta en equiparar las pérdidas por roce, comparar los rendimientos y llegan al resultado:

$\frac{\text{Rendimiento km/litro}(2v_0)}{\text{Rendimiento km/litro}(v_0)}=\frac{2}{5}$