Hola, una forma posible de pensarlo es que tenés 9 opciones para elegir la silla vacía y 8! formas de sentar las ocho personas en las 8 sillas restantes. Esto te da 9*8! formas, o lo que es lo mismo, 9!.
Como decís, el problema resulta equivalente a pensar que hay una persona más, con la etiqueta "vacía" y le asignás también una silla. El problema se transforma entonces en sentar 9 personas en 9 sillas, para lo cual hay 9! formas de hacerlo.

Saludos