Escribí unas notas personales sobre la compactificación de Stone-Cech y espacios localmente compactos Hausdorff. En ese caso, la componente de la unidad $X\to\beta(X)$ (el codominio es la compactificación) es una inmersión de imagen abierta y densa. Las pruebas no usan ninguna construcción explícita de $\beta(X)$; solamente su propiedad universal, lo cual es muy satisfactorio.

No lo escribí pensando en compartirlas, pero lo hago por las dudas que haya alguien interesado.

El enlace es este. https://www.overleaf.com/read/wbcyrvqtkjwj