Hola, quería preguntarles si voy bien encaminado o como deberia hacer la parte c del ejercicio 9 que: me dan un sistema de ec diferenciales y me preguntan si es estable ese sistema cerca del (0,0), en este caso usaria la función de Liapunov que encontre? por que también podria estudiar los valores propios de mi matriz M? .
En el primer caso, me quedo V(x,y)=1-2x^2 -2xy +9/2y^2, sabemos por el teorema de Sylvester que la matriz asociada M (a la cuadrática) es definida positiva y ademas es V(0,0)=0, entonces para concluir que es estable debo mostrar que la derivada de V es negativa, derivo dV/dt=Vx(x,y)x' + Vy(x,y)y' sustituyo mis derivadas parciales aquí y agrego lo que vale x' e y' según el sistema dado x'=-x-4siny ,y'=x^2 +1-e^y , reagrupando ,aplicando Taylor en sin(y) eqiv a (y) y e^y equiv a (1+y) y haciendo cuentas linealizo ese sistema no lineal para llegar a que dV/dt=-x^2-y^2, desprecio los términos que se van mas rápido a cero que tiene orden mayor a 2, concluyendo que la derivada es menor a cero, por lo tanto el sistema es asintoticamente estable de forma local, estaria bien este proceder? o hay otra forma mas sencilla de resolverlo? Desde ya muchas gracias.