Consulta de teórico.

Consulta de teórico.

by BUSTOS GUILLERMO -
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Buenas tardes, quería consultar sobre una duda que me entro ahora repasando lo dado de permutaciones, arreglos y combinaciones. No logro identificar la diferencia entre arreglos con repetición, permutaciones con repetición y combinaciones con repetición. La diferencia entre permutaciones, arreglos y combinaciones sí me quedo bastante clara (permutaciones es con funciones biyectivas, arreglos con inyectivas, por ejemplo si mi abecedario fuese de las letras r,e,t,o y quiero llegar a la palabra reto, esta en las permutaciones, si mi abecedario fuese r,e,t,o,s y quiero formar reto esta en los arreglos, ya que a cada lugar le corresponde una letra distinta, y combinaciones es por ejemplo, si yo quiero ver cuantas maneras tengo de agarrar 2 letras del abecedario r,e,t,o, ahi es combinaciones de 4 tomados de a 2.) Pero las diferencias entre éstas con repeticiones no me queda del todo clara. Tampoco me termino de quedar muy clara la idea de combinaciones con repetición, ya que si en ese abecedario yo tengo un conjunto con dos "r", no sería lo mismo que tener una sola? Como en los numeros, que si tenes el conjunto de {1,1} es lo mismo que el conjunto {1}. 

Disculpen las molestias, muchas gracias. Saludos.

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Re: Consulta de teórico.

by Sequeira Emiliano -
Para ver la diferencia entre arreglos con repetición y permutaciones con repetición podés mirar estos dos problemas:

1) ¿Cuántas palabras de largo 6 pueden escribirse usando las letras A, B y C?
2) ¿Cuántas palabras de largo 6 pueden escribirse usando dos A, tres B y una C?

Es claro que ambos problemas son diferentes pues una palabra posible para el problema 1 es la palabra CCCCCC, pero esta no respeta la consigna del segundo problema. Traducido en términos de funciones tenemos las siguientes formulaciones equivalentes:

1) ¿Cuántas funciones f:\{1,\ldots,6\}\to\{A,B,C\} existen? (la palabra que se corresponde con la función f es f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6))
2)¿Cuántas funciones f:\{1,\ldots,6\}\to\{A,B,C\} cumplen  \#f^{-1}(A)=2,\#f^{-1}(B)=3\text{ y }\#f^{-1}(C)=1 ?

Aquí se ve bastante clara la diferencia pues en el segundo problema tiene más restricciones. La respuesta de la primer pregunta es AR^3_6, mientras que la respuesta de la segunda es P_{6,3,2,1}. En conclusión, la diferencia entre arreglos con repetición y permutaciones con repetición es que en el primer caso no hay restricción para la cantidad de veces que se repite un elemento, mientras que en el segundo caso esto está estrictamente determinado.

El problema con las permutaciones con repetición parece ser la implementación de un conjunto que tenga cardinal CR^n_k para n y k dados. La idea intuitiva es la siguiente: se quieren tomar k elementos de un conjunto que tiene n elementos diferentes, con la particularidad de que al elegir un elemento este se repone y por lo tanto puede volverse a elegir.
Siguiendo un poco el ejemplo anterior uno podría plantearse el problema de cuántas formas hay de elegir seis letras con repetición en el conjunto \{A,B,C\}. Es cierto que por ejemplo representar la elección A,A,B,B,C,C por un conjunto \{A,A,B,B,C,C\} no es del todo correcto porque dijimos que este es igual al conjunto (\\{A,B,C\}\). Por eso consideramos el conjunto de las 3-uplas (x_1,x_2,x_3) donde x_i\in\mathbb{N}\} tal que x_1+x_2+x_3=6. De esta forma x_1 es la cantidad de letras A que tomamos, x_2 es la cantidad de letras B y x_3 es la cantidad de letras C, y por lo tanto el ejemplo anterior se ve como la 3-upla 2,2,2. Podemos escribir en general
CR^n_k=\#\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{N}^n: x_1+\cdots+x_n=k\}