(Clase 1- 11 marzo) Introducción al curso. Convergencia puntual y uniforme. Ejemplos. Continuas son cerrado con convergencia uniforme. Integral se porta bien con convergencia uniforme pero derivada no. 

(Clase 2 - 13 marzo) Sucesiones de Cauchy y completitud. Prueba que las funciones continuas con la convergencia uniforme son completas. Teorema de Arzela-Ascoli. Series de potencias y radio de convergencia. 

(Clase 3 - 15 marzo) Discusión sobre los teoremas de función inversa, implícita y forma local de las submersiones/inmersiones. Ideas heurìsticas de la prueba y teorema de punto fijo de las contracciones. 

(Clase 4 - 18 marzo) Teorema de la Función Inversa. Prueba de que hay un entorno del punto cuya imágen es abierto y donde la función es biyectiva. Heurística de la diferenciabilidad de la inversa, la prueba se completará la clase próxima. 

(Clase 5 - 20 de marzo) Fin de prueba del teorema de la función inversa. Forma local de las inmersiones y submersiones. Prueba de la forma local de las inmersiones. 

(Clase 6 - 22 de marzo) Prueba de forma local de las submersiones. Teorema de Función implícita.

(Clase 7 - 1 de abril) Definición de variedad diferenciable. Ejemplos varios. Definición y Teorema sobre valores regulares. Más ejemplos. 

(Clase 8 - 3 de abril) Prueba del Teorema de valores regulares. Definición de variedades por parametrizaciónes y cartas. Proyección esterográfica en S^2. 

(Clase 9 - 5 de abril) Equivalencia entre las definiciones. Comentarios sobre las hipótesis. Definición de atlas y de funciones diferenciables entre variedades. Motivación de la necesidad de definir el espacio tangente (próxima clase). 

(Clase 10 - 8 de abril) Espacio tangente, definición y prueba de que está bien definido. Ejemplos. Espacio tangente para preimagenes de valores regulares de una función. 

(Clase 11 - 10 de abril) Espacio tangente como derivadas de curvas. Discusión sobre la noción de mapas diferenciables y difeomorfismos de subconjuntos (no necesariamente abiertos) de R^d. 

(Clase 12 - 12 de abril) Variedades con borde. El borde de una variedad con borde es una variedad (sin borde). Discusiones sobre las sutilezas en las definiciones. 

(Clase 13 - 15 de abril) Orientación de espacios vectoriales y orientación en variedades. Definición. Equivalencia entre orientaciones. Una variedad conexa orientable tiene exactamente dos orientaciones. 

(Clase 14 - 17 de abril) Orientación y espacio tangente de variedades con borde y su borde. 

(Clase 15 - 19 de abril) Algebra multilineal, motivación y primeras definiciones. 

(Clase 16 - 24 de abril) Permutaciones, formas multilineales alternadas. Alternador. 

(Clase 17 - 26 de abril) Producto exterior. Prueba de asociatividad. Pull-back de formas multilineales. 

(Clase 18 - 29 de abril) Formas diferenciales. Definiciones, ejemplos. Vínculo con campos de vectores y producto vectorial en R3. Definición de derivada exterior. 

(Clase 19 - 3 de mayo) Producto exterior y pull-back de formas. Propiedades y cálculo de ejemplos. 

(Clase 20 - 6 de mayo) Producto exterior, pull-back y derivada exterior. Cálculo de ejemplos concretos, y chequeo de que propiedades deberíamos esperar. 

(Clase 21 - 8 de mayo) Formas y campos de vectores en dimensión 2 y 3. Gradiente, rotor, divergencia y vínculo con la derivada exterior. Discusión de otras operaciones (e.g. Laplaciano). 

(Clase 22 - 10 de mayo) Primer Parcial. 

(Clase 23 - 13 de mayo) Propiedades generales de las operaciones con formas diferenciales en abiertos de R^d. Pull-back conmuta con derivada exterior, fórmula de derivada exterior de productos exteriores, derivada exterior dos veces es nulo. 

(Clase 24 - 15 de mayo) Integrales de línea. Independencia de la parametrización. Integral de campos de vectores sobre curvas. Formas cerradas y exactas, prueba de que la integral de una forma exacta sobre una curva depende sólo de los extremos. 

(Clase 25 - 17 de mayo) Integrales de línea y formas exactas (es exacta si y solamente sí no depende del camino). Versión del teorema de Stokes en el cuadrado. La integral de línea alrededor del borde de un cuadrado coincide con la integral de su derivada exterior en el interior de este. 

(Clase 26 - 20 de mayo) Formas diferenciales en variedades. Particiones de la unidad. 

(Clase 27 - 22 de mayo) Integración de formas en abiertos de R^d. Teorema de cambio de variable (relación con pullback) y discusión sobre integración en variedades y orientación. 

(Clase 28 - 24 de mayo) Integración de formas en variedades. Definición y prueba de que la definición funciona. Discusión sobre formas de volumen e integrales en regiones de volúmen pequeño. 

(Semanas del 28 de mayo al 7 de junio) Puesta al día del práctico. Exposiciones de temas relacionados al curso.  

(Clase 29 - 12 de junio) Repaso de integración. Enunciado de Stokes. Reducción a una única carta. Prueba cuando el soporte es disjunto del borde. 

(Clase 30 - 14 de junio) Prueba de Stokes en general. Discusión del caso con borde. Formas de volúmen. 

(Clase 31 - 17 de junio) Prueba del Teorema de Green, Stokes Clásico, Gauss. Ecuaciones de Maxwell. 

(Clase 32 - 21 de junio) Cohomología de de Rham, presentación general. Prueba de que en espacios contractibles, toda forma cerrada es exacta. 

(Clase 33 - 24 de junio) Teorema de separación de Jordan.