2.1 Enfoque geométrico.

Vamos a tratar sistemas en una dimensión del tipo

$\dot{x}= f(x).$

Notemos que la función $f(x)$ no depende explícitamente del tiempo, es decir es autónoma. En caso que dependiese tendríamos que agregar una dimensión más al problema.

Muchas veces se pueden sacar conclusiones interesantes sin resolver explícitamente las ecuaciones utilizando argumentos de tipo geométrico. Como ejemplo se puede analizar el sistema

$\dot{x}= \sin x$,

que se puede integrar en términos de funciones trigonométricas. Sin embargo es más directo, si queremos tener una idea de como se comporta el sistema, analizarlo como un campo vectorial. Es fácil ver que el flujo (la solución) es hacia la derecha o hacia la izquierda según el signo de $f(x)$.

En el ejemplo planteado se resalta que los métodos cualitativos nos pueden ser de más utilidad que los analíticos en muchas situaciones.

* Repasar el ejemplo y entender bien el razonamiento. Cuáles serían las fortalezas y debilidades de cada uno de los enfoques?

2.2 Puntos fijos y estabilidad

Consideramos nuevamente un sistema general del tipo  $\dot{x}= f(x).$

Introducimos los puntos fijos que representan soluciones de equilibrio dadas por

$f(x)=0,$

Definiciones útiles:

• phase point = partícula imaginaria (o solución) con una condición inicial dada.
• trayectoria = a medida que el tiempo evoluciona la partícula imaginaria describe una trayectoria
• phase portrait o retrato de fase es una representación geométrica de todas las trayectorias. Cada curva representa una condición inicial diferente.

Los puntos fijos son estables si frente a una perturbación suficientemente pequeña el sistema permanece en un entorno del punto fijo. Observen la notación que usa en los diagramas. Ver también que en este caso estamos hablando de localmente estable.

* Repasar definición de punto fijo. Mirando la figura 2.2.1, dónde aparecen los puntos fijos? Por qué algunos se representan rellenos (en negro) y otros vacios? Qué implica que la función $f(x)$ sea positiva? y negativa? Cuándo los puntos fijos son estables? e inestables?

Ejemplos

Hay dos ejemplos bastante sencillos aquí. Uno, sobre un circuito RC y el otro sobre dinámica de poblaciones (sección 2.3). Este último es interesante porque es el primer ejemplo de ecuación logística. Repasar los ejemplos y estar seguro de que se entiende bien. Considere varias condiciones iniciales y pronostique la evolución del sistema para tiempos grandes. Qué tan grandes deberían ser esos tiempos? Defina una escala de tiempo adecuada.

2.4 Análisis de estabilidad lineal

Los análisis de estabilidad lineal son de las primeras cosas que podemos hacer cuando nos enfrentamos a un sistema nuevo. En los sistemas en una dimensión, naturalmente, son especialmente sencillos. Alcanza mirar la derivada evaluada en el punto fijo y ver si es positiva o negativa. La magnitud de este valor nos da una idea de las escalas de tiempo del sistema. En el caso que resulte ser nula estamos frente a un problema... y en general tenemos que ver que pasa con los siguientes términos del desarrollo.

Estudie los ejemplos y haga las cuentas en un papel.

Qué significa globalmente estable?

2.5 Existencia y unicidad

En general no vamos a preocuparnos mucho por las condiciones de existencia y unicidad. En general si la función $f(x)$ es lo suficiente suave (en el sentido de continuidad y derivadas continuas) las soluciones existen y son únicas. Sin embargo... debemos recordar que

se pueden presentar casos en que no hay unicidad.

qué existan soluciones no quiere decir que existan para todo tiempo.

En este libro se discuten algunos ejemplos interesantes de implicaciones físicas del teorema de existencia y unicidad.

Repase estos ejemplos que serán abordados más tarde.

2.6 Imposibilidad de oscilaciones.

Si reflexionamos un instante nos damos cuenta que los flujos en la recta no presentan oscilaciones. A pesar de eso se pueden hacer algunas analogías mecánicas (medio rebuscadas pero analogías al fin).

2.7 Potenciales

Es posible definir potenciales que a veces pueden ser de utilidad. Tenga en cuenta que estos potenciales no son los mismos que los potenciales mecánicos "normales".

2.8 Resolución numérica y Método de Euler

Es muy primitivo pero lo vamos a usar para resolver ejemplos sencillos.