Flujos en el círculo

Introducción

Antes habíamos visto flujos del tipo $\dot{x}= f(x)$ con $x$ real, ahora vamos a ver flujos del tipo $\dot{\theta}= f(\theta)$ con $\theta \in (0, 2 \pi)$. 

A diferencia de los flujos en la recta donde no había oscilaciones, en este caso podemos tener un primer modelo de oscilaciones.

Ejemplos y oscilador uniforme

Consideramos $\dot{\theta}= \sin (\theta)$

¿Cómo es el flujo? Observamos primero que tenemos un punto fijo $\theta_0 = 0$ y otro

$\theta_0 = \pi$. La estabilidad se puede analizar viendo el signo de la función $\sin (\theta)$ en cada intervalo. Como es positiva entre $(0,\pi)$ y negativa en $(\pi,2 \pi)$ el primer punto fijo resulta inestable y el segundo estable.

El flujo se puede representar como

Consideramos ahora un oscilador uniforme $\dot{\theta}= \omega$, la solución es obviamente $\theta(t)= \omega t + \theta_0$,

El punto importante es que la solución es periódica con período $T=2 \pi /\omega$.

Oscilador no uniforme

Consideremos ahora un oscilador

$\dot{\theta}= \omega - a \sin \theta$

Para analizar el sistema graficamos $\dot{\theta}$ en función $\theta$

Observamos que se presentan tres comportamientos en función del valor de $a$

Claramente si $a=0$ se reduce al ejemplo anterior, pero si $a \ne 0$ tenemos un oscilador no uniforme, en el sentido que su velocidad va cambiando. Cuánto más grande menos uniforme es.  Si $a$ es un poco menor que $\omega$ se produce un cuello de botella. Cuando $a=\omega$ aparece un punto fijo semiestable, se acerca por un lado y se aleja por el opuesto. Cuando $a>\omega$ tengo dos puntos fijos, uno estable y el otro inestable. Decimos que tenemos una bifurcación de nodo-silla.

También podemos visualizar el comportamiento del sistema visualizando los flujos en el círculo

Período de oscilación.

Para $a< \omega$ se puede calcular el período analíticamente

que resulta

Se puede ver que

es decir, crece con $T \sim (a_c - a)^{-1/2}$ donde $a_c =\omega$. Este comportamiento se verá en muchos sistemas cuando estamos cerca de una bifurcación de nodo- silla.

Justo antes de aparecer los puntos fijos el sistema pasa por un cuello de botella, el tiempo que lleva "pasar" por ese punto crece mucho y podemos pensar que actúa como un "fantasma".