Punteo de los temas

Definición

Vamos a tratar sistemas en 2 dimensiones $x,y$  del tipo

$\dot {x}= a x + b y$

$\dot {y}= c x + d y$

donde $a$, $b$, $c$ y $d$  son parámetros.

Notemos que un sistema de 2do. orden en una dimensión se puede poner como un sistema de primer orden en dimensión 2.

Campo vectorial: en dimensión 2 podemos representar gráficamente estos sistemas asignando un vector a cada punto del plano.

Ejemplos de NODOS

Ejemplo de punto silla.

Estabilidad

podemos representar gráficamente estos sistemas asignando un vector a cada punto del plano.

Conceptos: atractor, estable según Lyapunov, neutralmente estable, asintóticamente estable, inestable.

Clasificación

La clasificación se hace basado en los valores propios, partiendo del sistema escrito en forma vectorial

la solución se puede escribir (formalmente por ahora) en la forma

Es fácil ver que $v$ y $\lambda$ deben cumplir

Los valores propios satisfacen

con

de acuerdo a los valores de $\lambda_1$  y $\lambda_2$ tenemos diferentes comportamientos.

El esquema más importante del capítulo es:

que da en función de $\lambda$ y $\tau$ el tipo de punto fijo que tenemos.