Flujos en el plano

En este capítulo vamos a empezar a estudiar sistemas nolineales en dos dimensiones.

1. Retratos de fase

Consideremos un sistema

$\mathrm{\dot{x_1}= f_1(x_1,x_2)}$

$\mathrm{\dot{x_2}= f_2(x_1,x_2)}$

donde $f_1(x_1,x_2)$ y  $f_2(x_1,x_2)$ son funciones dadas.

Estas ecuaciones representan en general un campo vectorial para cada punto en el plano también conocido como un flujo en el plano.

Dada una condición inicial, el flujo sigue cierta trayectoria en el plano. Es más, todo el plano está cubierto por trayectorias dado que cada punto puede ser una condición inicial. El conjunto de estas trayectorias es el retrato de fases.

En general para sistemas nolineales no es posible encontrar analíticamente las trayectorias.

Las características más salientes del retrato de fases son:

• existencia de puntos fijos (corresponden a soluciones de equilibrio)
• existencia de órbitas cerradas  (corresponden a soluciones periódicas)
• naturaleza de las trayectorias cerca de los puntos fijos (cerca de A y C el flujo es similar pero alrededor de B es distinto)
• la estabilidad o inestabilidad de los puntos fijos

En muchos casos el cálculo numérico nos puede ayudar a comprender el comportamiento de un sistema.

Existencia, unicidad y consecuencias topológicas

El teorema de existencia y unicidad para flujos en una dimensión puede ser generalizado para dimensiones más altas. Si la función $f$ es contínua y las derivadas parciales son también continuas en un conjunto abierto y conexto está garantizada la existencia y unicidad de las soluciones (en un intervalo finito alrededor de $t=0$).

Matemáticamente puede haber condiciones menos exigentes que las planteadas pero en general vamos a aceptar que el campo es lo suficientemente suave para que se cumpla el teorema para cualquier condición inicial.

Importante: el teorema de existencia y unicidad garantiza que diferentes trayectorias no se cruzan. En caso contrario el sistema no sabría a donde ir.

Este resultado tiene consecuencias topológicas importantes especialmente en dimensión 2. Por ejemplo, dada una órbita cerrada, las órbitas interiores quedan atrapadas para siempre. Este resultado está vinculado estrechamente con el teorema de Poincaré-Bendixson: si una trayectoria esta confinada en una región cerrada y acotada y no hay puntos fijos en la región, entonces la trayectoria se tiene que acercar necesariamente a una órbita cerrada.

2. Puntos fijos y linearización.

Dado un sistema en el plano, usando desarrollos de Taylor, obtenemos la matriz Jacobiana y el sistema linealizado

cuya dinámica puede ser analizada con los métodos vistos en la sección anterior.

Naturalmente surge una pregunta, ¿en qué casos la linealización me da una respuesta sobre el comportamiento del sistema no lineal? Es decir, cuando puedo y cuando no, despreciar los términos no-lineales?

Resultado importante: La respuesta es afirmativa, mientras el sistema no se encuentre en algunos de los casos límites que vimos en el capítulo anterior. Si el sistema linealizado predice un punto silla, un nodo o una espiral, entonces el sistema nolineal presenta de verdad un punto silla, un nodo o un espiral.

Los casos límites: centros, nodos degenerados, estrellas o puntos fijos no aislados, son más delicados.

Si estamos interesados por la estabilidad solamente y no en los detalles de la geometría de las trayectorias, los puntos fijos se pueden clasificar de acuerdo a

Casos robustos

Repelores (o fuentes) ambos valores propios tienen parte real positiva.

Atractores (o sumideros) ambos valores propios tienen parte real negativa.

Sillas: un valor propio negativo y otro positivo

Casos marginales

Centros: ambos valores propios imaginarios puros.

Puntos fijos no aislado y de mayor orden: al menos un valor propio que satisface $\Re(\lambda)$.

En resumen los casos marginales son aquellos en los cuáles al menos un valor propio tiene parte real nula.

3. Puntos fijos hiperbólicos.

Si $Re(\lambda)\neq 0$ para ambos valores propios decimos que el punto fijo es hiperbólico (no es una terminología muy afortunada).

Los puntos fijos hiperbólicos son robustos pues su estabilidad no se ve alterada por los términos nolineales. Los no hiperbólicos son los casos marginales.

El teorema de Hartman-Grobman dice que cerca de los puntos fijos hiperbólicos el sistema linealizado es topológicamente equivalente al sistema sin linealizar (esto es la existencia de un homeomorfismo, función continua con inversa continua).

Intuitivamente uno es la versión deformada del otro.

Loa puntos fijos hiperbólicos también ilustra otro concepto importante que es el de estabilidad estructural donde la topología no cambia por pequeñas perturbaciones en el campo vectorial. Por ejemplo, un punto silla es estable estructuralmente pero un centro no.

4. Sistemas conservativos

Supongamos que tenemos un sistema mecánica regido por una ecuación diferencial de segundo orden. En caso que la energía (u otras cantidades) se conserve, hay fuertes consecuencias en la dinámica del sistema.

Resultado importante: en un sistema conservativo no pueden existir puntos fijos atrayentes. Se muestra usando que $E(x)$ sería constante para todos los puntos en la cuenca de atraccion, pero a su vez debe ser no constante en cualquier conjunto abiertos.

Las trayectorias que salen y llegan a un mismo punto fijo (como pasa en el péndulo) se denominan órbitas homoclínicas. Notamos que no son órbitas periódicas porque el tiempo que demoran es infinito.

Es útil en estos casos pensar la trayectoria sobre la superficie de energía constante en lugar de sobre el plano.

Los centros no lineales son delicados en casos generales pero en sistemas conservativos son más robustos. Se puede probar que alrededor de un mínimo local las trayectorias próximas son cerradas.

5. Sistemas reversibles

Los sistemas mecánicos, y muchos otros, suelen ser reversibles, es decir si hacemos un cambio $t$ por $- t$ las ecuaciones de movimiento no cambian.

Al pasar mencionamos, las trayectorias heteroclínicas o conexiones de sillas, órbitas que son parecidas a las homoclínicas pero que unen diferentes puntos fijos.

6. Teoría de índices.

La linealización es una técnica local, da información sobre lo que ocurre cerca de punto fijo.

La teoría de índices es un ejemplo de técnica global, es decir, no está limitada a una región pequeña del espacio.Nos sirve para determinar por ejemplo si alrededor de un punto fijo hay una trayectoria cerrada que lo encierra. Se puede hacer una analogía con electrostática donde la carga es análoga al índice.