Ciclos límites

1. Introducción y ejemplos

Un ciclo límite es una trayectoria cerrada y aislada. Aislada significa que las trayectorias próximas no son cerradas, puede ser que se acerquen o se alejen del ciclo límite en forma de espiral.

. Si todas las trayectorias próximas se acercan al CL decimos que es estable o atrayente, de lo contrario decimos que es inestable. En casos excepcionales puede pasar que sea medio-estable.

Si consideramos un sistema lineal, por ejemplo  $\dot{\vec{x}}=  A \vec{x}$, normalmente puede tener soluciones como órbitas cerradas pero, por la linealidad, una órbita próxima también será cerra cerrada.

Si consideramos el sistema siguiente donde $r,\theta$ son coordenadas polares

podemos ver que $r=1$ opera como si fuera un punto estable en una dimensión

donde la coordenada angular se mueve con velocidad angular constante. El flujo en el plano resulta

El oscilador de Van der Pol

se caracteriza por tener un rozamiento no lineal que puede ser positivo, representando un rozamiento auténtico o por el contrario una inyección de energía. De esta forma cuando la amplitud de la oscilación disminuye se inyecta energía pero cuando la oscilación crece se disipa, generando de esta forma un ciclo límite. La evolución temporal del ciclo límite no es una función sinusoidal sino algo más complejo.

2. Descartando órbitas cerradas

Existen varios métodos que nos permiten descartar la presencia de órbitas cerradas.

En los sistemas que se pueden representar como un gradiente $\dot\vec{x}= - \nabla \vec{V}$ se puede probar que no puede haber órbitas cerradas.

Este aspecto se conecta con las funciones de Liapunov. En caso que exista una función de Liapunov no puede haber órbitas cerradas.

Criterio de Dulac. Sea $dot\vec{x}= \vec{f}(x)$ un campo vectorial continuamente diferenciable en un dominio $R$ simplemente conexo en el plano. Si existe una función $g$ continua y diferenciable tal que $\nabla \dot (g \dot{\vec{x}$ es de signo constante entonces no hay órbitas cerrradas.

3. Teorema de Poincare-Bendixson

Este teorema permite probar la existencia de órbitas cerradas si se cumplen varias condiciones.

4. Sistemas de Liénard