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\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}
\newcommand{\items}{\vskip4mm\item}
%%%% Theorems %%%%%%%%%%
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{teorema}{Teorema}%\numberwithin{teorema}{chapter}
\newtheorem{definicion}{Definici\'on}%\numberwithin{definicion}{chapter}
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{\begin{proof}}{\renewcommand{\qed}{\hfill\qedsymbol}\end{proof}}
%----------------------------
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{
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 }
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\title{Probabilidad - Clase 31\\
Modelo SEIR para una epidemia}
\author{Ernesto Mordecki}
\date{}

\institute[Centro de Matem\'atica] 
{
\footnotesize
Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep\'ublica. Montevideo, Uruguay
}
\date[Short Occasion] 
{Curso de la Licenciatura en Matemática - 2020}

\subject{Talks}
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%  MENSAJE DE INICIO  SALUDO%BIENVENIDA
%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{Esto no lo dijo Quino:}
%%Dos estadísticos disparan a un blanco:
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.25]{ma2.jpg}
\caption{¡A no estresarse y estudiar con alegría!}
\end{figure}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{Contenidos}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{El modelo SEIR}
\begin{frame}\frametitle{}
\begin{itemize}
\items
Se trata de simular el modelo SEIR para una epidemia, como por ejemplo la del covid-19.
\items
El tiempo es continuo y la unidad de tiempo es el día.
\items
Tenemos una población de $N$ individuos.
\items
En en cada momento del tiempo, cada integrante de la población está en una de cuatro categorías:
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}
\begin{itemize}
\item[(S)] Susceptibles: son las personas que están sanas y pueden infectarse.
\item[(E)] Expuestos: son las personas que están infectadas pero no presentan síntomas y no infectan a los demás.
\item[(I)] Infectados: son las personas infectadas que ya presentaron síntomas e infectan a una parte de quienes se contactan con ellos.
\item[(R)] Son las personas removidas de la epidemia, por recuperarse o fallecer (cosa que el modelo no distingue). 
Los recuperados ya no se infectan, están inmunes.
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Clases S - E - I - R}
\begin{frame}\frametitle{Cuatro clases}
\bi
\items
En cada tiempo  tenemos entonces un vector de cuatro coordenadas 
$$
(n_S,n_E,n_I,n_R)
$$ 
que indica cuantas personas están
en cada categoría.
\items  Se verifica 
$$ 
n_S+n_E+n_I+n_R=N,
$$ la población total.
\ei
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Evolución}
\begin{frame}\frametitle{Evolución}
Los cambios de estado en el modelo se producen entre tiempos exponenciales, de acuerdo a las siguientes reglas:
\bi
\items[(I)] En el momento inicial hay un grupo de infectados y el resto son susceptibles
\items[(II)] Cada individuo infectado infecta a un susceptible en un tiempo exponencial de parámetro $\beta$ (la tasa de contagio). 
El susceptible infectado pasa a la categoría $E$ (expuesto). La tasa de contagio $\beta$ es el producto de dos cantidades:
$$
\beta=\hat{\beta}p
$$
donde $\hat{\beta}$ es un parámetro de conectividad social, que mide cuantos contactos tiene en promedio una persona,
y $p$ es la probabilidad de infección a partir de un contacto\footnote{Las medidas de cuarentena reducen $\hat{\beta}$, mientras
que las medidas de distanciamiento social y uso del tapabocas reducen la probabilidad de contagio $p$.}
\ei

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}
\bi
\items[(III)] Cada individuo expuesto, luego de un tiempo exponencial de parámetro  $\ell$ 
 presenta síntomas y pasa a ser infectado (el tiempo entre la infección y los síntomas se denomina período de latencia).
\items[(IV)] Cada individuo infectado pasar a removido luego de un tiempo exponencial, con un parámetro  $\gamma$ (tasa de remoción).
El tiempo de remoción depende básicamente de dos factores:
\bi
\items El individuo deja de ser contagioso (se cura o fallece),
\items El individuo entra en cuarentena.
\ei
\ei

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Transiciones entre estados}
\begin{frame}\frametitle{}
Las transiciones entre estados de la enfermedad se grafican:
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=green!100,draw]
\node[state] (S) at (0,0) {$\mathbf{S}$};
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=yellow!100,draw]
\node[state] (E) at (2,0) {$\mathbf{E}$};
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=red!100,draw]
\node[state] (I) at (4,0) {$\mathbf{I}$};
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=blue!50,draw]
\node[state] (R) at (6,0) {$\mathbf{R}$};
\draw[->,line width=1mm]  (S) -- (E);
\draw[->,line width=1mm]  (E) -- (I);
\draw[->,line width=1mm]  (I) -- (R);
\end{tikzpicture}
\caption{Transiciones entre los estados de la enfermedad en un modelo SEIR} 
\end{figure}
El modelo más clásico y básico para epidemias es el modelo SIR:
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=green!100,draw]
\node[state] (S) at (0,0) {$\mathbf{S}$};
%\tikzstyle{every node} = [circle, fill=yellow!100,draw]
%\node[state] (E) at (2,0) {$\mathbf{E}$};
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=red!100,draw]
\node[state] (I) at (3,0) {$\mathbf{I}$};
\tikzstyle{every node} = [circle, fill=blue!50,draw]
\node[state] (R) at (6,0) {$\mathbf{R}$};
\draw[->,line width=1mm]  (S) -- (I);
%\draw[->,line width=1mm]  (E) -- (I);
\draw[->,line width=1mm]  (I) -- (R);
\end{tikzpicture}
\caption{Transiciones entre los estados de la enfermedad en un modelo SIR} 
\end{figure}



\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}
Las características del proceso conocidas son las siguientes:
\begin{itemize}
\item La evolución de la epidemia viene caracterizada por el parámetro
$$
R_0 =\frac{\beta}{\gamma}.
$$
que es la cantidad promedio de infectados por cada infector.
\item El tiempo de latencia tiene un promedio de 5 días.
\item El tiempo de remoción es una variable crítica de la evolución de la epidemia. Un individuo pasa a ser removido esencialmente debido a tres situaciones: 
\begin{itemize} 
\item El individuo se cura
\item El individuo fallece
\item El individuo entra en cuarentena\footnote{Este es el tema clave que impide la propagación de la epidemia, lograr que los individuos infectados entren en cuarentena}.
\end{itemize}
Como resumen de estas tres situaciones, vamos a suponer que el tiempo medio de remoción es de 5 días
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}
Como conclusión de estas consideraciones, asumimos que
$$
\ell = 5,\qquad\gamma=5,\qquad\beta=\gamma R_0=5 R_0.
$$
Entonces vamos a hacer simulación de escenarios con distintos valores de $R_0$. Para la simulación,
se precisa el siguiente resultado.


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Tarea: demostrar la proposición}
\begin{frame}\frametitle{Tarea: demostrar la proposición}
\begin{proposicion}
Sean $T_1,T_2,\dots,T_n$ variables aleatorias independientes con distribución exponencial, con respectivos
parámetros $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$. Entonces: 
\vskip2mm\par\noindent (a)
La variable aleatoria
$$
T=\min(T_1,T_2,\dots,T_n),
$$
tiene distribución exponencial, con parámetro 
$$
\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n.
$$
\vskip2mm\par\noindent (b) Se cumple
$$
\P(T=T_i)={\lambda_i\over\lambda},
$$
es decir, el mínimo es $T_i$ con probabilidad proporcional a $\lambda_i$.
\end{proposicion}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{Tarea: simulación del modelo}
Para hacer la simulación viable, vamos a suponer un ejemplo con parámetros aproximados.
La idea es explorar diferentes escenarios, inclusive con parámetros diferentes a los indicados.
\bi
\items $R_0$ va a variar entre 1 y 2.
\items Suponemos que la epidemia se inicia en tiempo $T=0$ y finaliza en $T=2$ o $T=3$.
\items Asumimos una población de entre 100 y 1000 habitantes
\items $\gamma=5$
\items $\ell=5$
\items $\beta=R_0\gamma$
\ei

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Tarea: simulación del modelo}
\begin{frame}
\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Simular el proceso. 
Se propone dibujar en un mismo gráfico las cuatro trayectorias promediadas de la evolución de la epidemia.
Se espera obtener un gráfico de la forma:
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{seir.png}
\caption{Trayectorias típicas de un modelo SEIR.}
\end{figure}
\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Debido al azar, existe la posibilidad de que la epidemia se extinga sola\footnote{No consideramos ingreso de infectados del exterior.} Calcular la probabilidad de extinción mediante simulación,
y dar un intervalo de confianza del 95\% para el tiempo de extinción. 
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{seir2.pdf}
\caption{Trayectorias de infectados de un modelo SEIR.}
\end{figure}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}
\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Debido al azar, existe la posibilidad de que la epidemia se extinga sola\footnote{No consideramos ingreso de infectados del exterior.} Calcular la probabilidad de extinción mediante simulación,
y dar un intervalo de confianza del 95\% para el tiempo de extinción. Para que esta probabilidad no sea despreciable,
hay que encontrar parámetros adecuados (el $R_0$ podría ser menor que uno).
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}

\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Cantidad de fallecidos. Una estimación aproximada de la cantidad de fallecidos
respecto de los infectados es del 3 \%\footnote{En realidad, este porcentaje depende de la capacidad de testeo. Una política agresiva de testeo identifica a más infectados, incluyendo aquellos que no tienen síntomas y por lo tanto no serían detectables con una cantidad menor de tests.} Incorporar la curva de fallecidos al gráfico de anterior.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}

\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Saturación  de CTI. Uno de los múltiples problemas que produce la epidemia
es la saturación de los CTI. Se sabe que un 4\% de los infectados requieren CTI y que ocupan una cama de CTI durante 20 días\footnote{Son cifras promedio.}. En Uruguay se cuenta con 500 camas de CTI que se pueden destinar a enfermos
de covid. A partir de la simulación de infectados, dar un intervalo de confianza del 95\% para el tiempo de saturación de CTI.

%\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Inmunidad de rebaño

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}

\vskip5mm\par\noindent\textbf{Tarea.} Saturación de la capacidad de rastreo (tracking).
Un elemento clave en el control de la epidemia es la capacidad de rastreo de los contactos de los infectados.
Mediante un control de los contactos se puede reducir el parámetro $\beta$ de intensidad de contagio.
Vamos a suponer entonces que la tasa de contagio, en vez de ser una constante, es una función 
creciente de la proporcion $x=n_I/N$ de infectados, de la forma
$$
\beta(x)=\beta_0+\beta_1 x.
$$
Graficar las nuevas trayectorias bajo este supuesto, explorando posibles valores de $\beta_1$.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%       DESPEDIDA     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}\frametitle{}
%%%%
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.45]{tabarez.png}
\end{figure}
%%%%
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{}
\begin{frame}\frametitle{}

