Clase 1 (14 de agosto).

Datos del curso, método de aprobación. Introducción. Preliminares sobre espacios vectoriales. Sumas de conjuntos, y productos de conjuntos de escalares por conjuntos de vectores. Conjuntos convexos, conjuntos equilibrados (=balanceados), conjuntos absorbentes. La intersección de convexos es convexa. La intersección y la unión de equilibrados son equilibrados. Envolvente (o cápsula) convexa y envolvente (o cápsula) balanceada de un conjunto. Los conjuntos absorbentes constituyen un filtro de subconjuntos del espacio.  Ejemplo: una bola centrada en 0 en un espacio seminormado es un subconjunto convexo, equilibrado y absorbente. Topologías vectoriales y espacios vectoriales topológicos (evt). Bases locales de entornos. Se dice que un evt es localmente convexo si admite una base local formada por entornos convexos. Si $V$ es un entorno de 0, existe otro entorno de 0, $U$, tal que $U+U\subseteq V$. 

Clase 2 (16 de agosto).

Si $V$ es un entorno de 0, existe otro entorno $U$ de 0 tal que $\overline{U}\subseteq V$, y por lo tanto todo evt es un espacio topológico regular. Conjuntos acotados. Caracterización de la clausura de un conjunto en términos de elementos de una base local. La suma de las clausuras de dos conjuntos está incluida en la clausura de la suma de dichos conjuntos. La clausuras de subespacios vectoriales, conjuntos convexos o conjuntos equilibrados son también subespacios vectoriales, conjuntos convexos y conjuntos equilibrados respectivamente. El interior de un conjunto convexo es convexo. El interior de un conjunto equilibrado que contiene que contiene al 0 como punto interior también es equilibrado. Los conjuntos acotados tienen clausuras acotadas. Todo entorno de 0 contiene un entorno equilibrado de 0. Todo entorno convexo de 0 contiene un entorno equilibrado y convexo de 0. Todo evt tiene una base local equilibrada. Todo espacio localmente convexo tiene una base convexa y equilibrada.