Clase 21 (23 de octubre).

Diferentes caracterizaciones de las bases ortonormales. Dos bases ortonormales de un espacio de Hilbert tienen el mismo cardinal. Dimensión de un espacio de Hilbert. Isomorfismos de espacios de Hilbert. Si $\mathcal{E}$ es una base ortonormal del espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, entonces la "transformada de Fourier abstracta" $\mathcal{H}\to\ell^2(\mathcal{E})$, dada por $h\mapsto \hat{h}$ tal que $\hat{h}(e):=\langle h,e\rangle\ \forall e\in\mathcal{E}$, es un isomorfismo de espacios de Hilbert.

Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si su dimensión es numerable. La familia $\{e_n\}_{n\in\mathbb{z}}$, donde $e_n(t)=e^{int}$, es una base ortonormal de $L^2(\mathbb{T})$.

Clase 22 (25 de octubre).

Formas sesquilineales y sus formas adjuntas; identidades de polarización. Formas sesquilineales acotadas y operadores asociados. Operadores adjuntos. Propiedades de la adjunción. C*-identidad: si $T$ es un operador acotado entre espacios de Hilbert, entonces $\|T^*T\|=\|T\|^2$. Operadores autoadjuntos, unitarios, normales. Ejemplos: adjunción y conjugación; adjuntos del shift bilateral (es unitario), del shift unilateral (es isométrico pero no unitario), de operadores integrales en $L^2(\nu)$.

Si $A$ es un operador autoadjunto, entonces $\|A\|=\sup_{\|h\|=1}\langle Ah,h\rangle$.