Sección: Semana 12 (30 de octubre - 3 de noviembre) | Análisis funcional 2023 (MA335)

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Semana 12 (30 de octubre - 3 de noviembre)
Clase 23 (30 de octubre).
Si $A$ es un operador autoadjunto, entonces $A=0$ si y sólo si $\langle Ah,h\rangle =0\ \forall h$ . El resultado anterior no vale en general si el cuerpo de escalares es $\mathcal{R}$ y no se supone que $A$ es autoadjunto (considerar una rotación de 90 grados en $\mathbb{R}^2$ ). Sin embargo, si el cuerpo de escalares es $\mathbb{C}$ y $A\in B(\mathcal{H})$ , entonces se tiene: (a) $A$ es autoadjunto si y sólo si $\langle Ah,h\rangle\in\mathbb{R}\ \forall h$ ; (b) $A=0$ si y sólo si $\langle Ah,h\rangle =0\ \forall h$ .
Si $A\in B(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_1)$ , entonces $\ker A=(\textrm{im}A^*)^\perp$ . En particular si $A$ es autoadjunto se tiene $\ker A=(\textrm{im}A)^\perp$ .
Operadores compactos entre espacios de Banach $X$ e $Y$ . Notación: $K(X,Y)$ y $K(X)$ cuando $X=Y$ . El conjunto $K(X,Y)$ es un subespacio vectorial cerrado de $B(X,Y)$ . Además, si $X_0$ e $Y_0$ son espacios de Banach, se tiene $B(Y,Y_0)K(X,Y)B(X_0,X)\subseteq K(X_0,Y_0)$ . En particular $K(X)$ es un ideal bilateral cerrado de $B(X)$ .

Clase 24 (1 de noviembre).
Operadores acotados de rango finito y sus adjuntos en espacios de Hilbert. Notación: $F(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2)$ . Teorema: Si $\mathcal{H}_1$ y $\mathcal{H}_2$ son espacios de Hilbert, entonces $\overline{F(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2)}=K(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2)$ . En consecuencia, si $T\in B(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2)$ , entonces $T\in K(\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2)$ si y sólo si $T^* \in K(\mathcal{H}_2,\mathcal{H}_1)$ . Luego $K(\mathcal{H})$ es un *-ideal cerrado de $B(\mathcal{H})$ . Los operadores integrales vistos en la Clase 22 son compactos. Otros ejemplos de operadores compactos.
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