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  • Clase 25 (6 de noviembre).

    Espectro y espectro puntual. Ejemplo: operadores "diagonales". Ejemplo: el operador de Volterra. Si T=T, entonces σp(T)R. Proposición: Si ST=TS, entonces ¯imS y kerS son T-invariantes.  Proposición: un operador N es normal sii Nh=NhhH; si adem'as el cuerpo de escalaraes es C, las condiciones anteriores son equivalentes a que las partes real e imaginaria de N conmuten entre sí. Corolario: si N es un operador normal se tiene: (a) ker(Nλ)ker(Nˉλ),λF; (b) λσp(N)ˉλσp(N); (c) ker(Nλ) reduce a N; (d) Si λμ, entonces ker(Nλ)ker(Nμ) Proposición: si T es compacto y λ es un valor propio no nulo de  T, entonces dimker(Tλ)<Proposición: si T es compacto y λ es un valor propio no nulo de  T tal que infh=1(Tλ)h=0, entonces λσp(T). Lema: si T es compacto y autoadjunto, entonces T o T es un valor propio  T.  

    Teorema (espectral). Sea T un operador compacto y autoadjunto en el espacio de Hilbert H, y para cada λF sea Hλ:=ker(Tλ) y Pλ la proyección ortogonal de H sobre Hλ; entonces:

    (a) Si λμ, se tiene \(\mathcal{H}_\lambda\perp H_\mu\) y PλPμ=0=PμP_λ

    (b) σp(T)[T,T].

    (c) Para todo ϵ>0 el conjunto Fϵ:={λσp(T):|λ|ϵ} es finito.

    (d) σp(T) es numerable; si es infinito entonces 0 es su único punto de acumulación. En consecuencia σp(T)=(λn)n1, y se puede suponer que los valores propios λn están ordenados de forma que |λ1||λ2|

    (e) H=kerTλσp(T){0}Hλ, y T(H) es separable.

    (f) T=λσp(T)λPλ en (B(H), ). Más precisamente, si FFϵ es un subconjunto finito de σp(T), entonces Tλσp(T)FλPλϵ.

    (g) Si (en) es un conjunto ortonormal de vectores propios de T (con en asociado al valor propio λn), entonces Th=n=1λnh,enen, hH                                                          

    Clase 26 (8 de noviembre).

    Teoremas básicos sobre espacios de Banach: teorema de la aplicación abierta (y su corolario el teorema de Banach), teorema del gráfico cerrado, y teorema de acotación uniforme. Ejemplos.