Clase 25 (6 de noviembre).
Espectro y espectro puntual. Ejemplo: operadores "diagonales". Ejemplo: el operador de Volterra. Si T=T∗, entonces σp(T)⊆R. Proposición: Si ST=TS, entonces ¯imS y kerS son T-invariantes. Proposición: un operador N es normal sii ‖Nh‖=‖N∗h‖∀h∈H; si adem'as el cuerpo de escalaraes es C, las condiciones anteriores son equivalentes a que las partes real e imaginaria de N conmuten entre sí. Corolario: si N es un operador normal se tiene: (a) ker(N−λ)⊥ker(N∗−ˉλ),∀λ∈F; (b) λ∈σp(N)⟺ˉλ∈σp(N∗); (c) ker(N−λ) reduce a N; (d) Si λ≠μ, entonces ker(N−λ)⊥ker(N−μ). Proposición: si T es compacto y λ es un valor propio no nulo de T, entonces dimker(T−λ)<∞. Proposición: si T es compacto y λ es un valor propio no nulo de T tal que inf‖h‖=1‖(T−λ)h‖=0, entonces λ∈σp(T). Lema: si T es compacto y autoadjunto, entonces ‖T‖ o −‖T‖ es un valor propio T.
Teorema (espectral). Sea T un operador compacto y autoadjunto en el espacio de Hilbert H, y para cada λ∈F sea Hλ:=ker(T−λ) y Pλ la proyección ortogonal de H sobre Hλ; entonces:
(a) Si λ≠μ, se tiene \(\mathcal{H}_\lambda\perp H_\mu\) y PλPμ=0=PμP_λ.
(b) σp(T)⊆[−‖T‖,‖T‖].
(c) Para todo ϵ>0 el conjunto Fϵ:={λ∈σp(T):|λ|≥ϵ} es finito.
(d) σp(T) es numerable; si es infinito entonces 0 es su único punto de acumulación. En consecuencia σp(T)=(λn)n≥1, y se puede suponer que los valores propios λn están ordenados de forma que |λ1|≥|λ2|≥⋯
(e) H=kerT⊕⊕λ∈σp(T)∖{0}Hλ, y T(H) es separable.
(f) T=∑λ∈σp(T)λPλ en (B(H),‖ ‖). Más precisamente, si F⊇Fϵ es un subconjunto finito de σp(T), entonces ‖T−∑λ∈σp(T)∖FλPλ‖≤ϵ.
(g) Si (en) es un conjunto ortonormal de vectores propios de T (con en asociado al valor propio λn), entonces Th=∑∞n=1λn⟨h,en⟩en, ∀h∈H.
Clase 26 (8 de noviembre).
Teoremas básicos sobre espacios de Banach: teorema de la aplicación abierta (y su corolario el teorema de Banach), teorema del gráfico cerrado, y teorema de acotación uniforme. Ejemplos.