Análisis funcional 2023 (MA335)

Clase 25 (6 de noviembre).

Espectro y espectro puntual. Ejemplo: operadores "diagonales". Ejemplo: el operador de Volterra. Si $T=T^*$, entonces $\sigma_p(T)\subseteq\mathbb{R}$. Proposición: Si $ST=TS$, entonces $\overline {im S}$ y $\ker S$ son $T$-invariantes.  Proposición: un operador $N$ es normal sii $\|Nh\|=\|N^*h\|\,\forall h\in\mathcal{H}$; si adem'as el cuerpo de escalaraes es $\mathbb{C}$, las condiciones anteriores son equivalentes a que las partes real e imaginaria de $N$ conmuten entre sí. Corolario: si $N$ es un operador normal se tiene: (a) $\ker(N-\lambda)\perp\ker(N^*-\bar{\lambda}), \forall \lambda\in\mathbb{F}$; (b) $\lambda\in\sigma_p(N)\iff\bar{\lambda}\in\sigma_p(N^*)$; (c) $\ker (N-\lambda)$ reduce a $N$; (d) Si $\lambda\neq\mu$, entonces $\ker(N-\lambda)\perp \ker(N-\mu)$.  Proposición: si $T$ es compacto y $\lambda$ es un valor propio no nulo de  $T$, entonces $\textrm{dim}\ker(T-\lambda)< \infty$. Proposición: si $T$ es compacto y $\lambda$ es un valor propio no nulo de  $T$ tal que $\inf_{\|h\|=1}\|(T-\lambda)h\|=0$, entonces $\lambda\in\sigma_p(T)$. Lema: si $T$ es compacto y autoadjunto, entonces $\|T\|$ o $-\|T\|$ es un valor propio  $T$.  

Teorema (espectral). Sea $T$ un operador compacto y autoadjunto en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, y para cada $\lambda\in\mathbb{F}$ sea $\mathcal{H}_\lambda:=\ker( T-\lambda)$ y $P_\lambda$ la proyección ortogonal de $\mathcal{H}$ sobre $\mathcal{H}_\lambda$; entonces:

(a) Si $\lambda\neq\mu$, se tiene \(\mathcal{H}_\lambda\perp $\mathcal{H}$_\mu\) y $P_\lambda P\mu=0=P_\mu P\_\lambda$. 

(b) $\sigma_p(T)\subseteq [-\|T\|,\|T\|]$.

(c) Para todo $\epsilon >0$ el conjunto $F_\epsilon:=\{\lambda\in\sigma_p(T): |\lambda|\geq\epsilon\}$ es finito.

(d) $\sigma_p(T)$ es numerable; si es infinito entonces 0 es su único punto de acumulación. En consecuencia $\sigma_p(T)=(\lambda_n)_{n\geq 1}$, y se puede suponer que los valores propios $\lambda_n$ están ordenados de forma que $|\lambda_1|\geq |\lambda_2|\geq\cdots$

(e) $\mathcal{H}=\ker T\oplus \oplus_{\lambda\in\sigma_p(T)\setminus\{0\} } \mathcal{H}_\lambda$, y $T(\mathcal{H})$ es separable.

(f) $T=\sum_{\lambda\in\sigma_p(T)}\lambda P_\lambda$ en $(B(\mathcal{H}), \|\ \| )$. Más precisamente, si $F\supseteq F_\epsilon$ es un subconjunto finito de $\sigma_p(T)$, entonces $\|T-\sum_{\lambda\in\sigma_p(T)\setminus F}\lambda P_\lambda\| \leq \epsilon$.

(g) Si $(e_n)$ es un conjunto ortonormal de vectores propios de $T$ (con $e_n$ asociado al valor propio $\lambda_n$), entonces $Th=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n\langle h,e_n\rangle e_n$, $\forall h\in\mathcal{H}$.                                                            

Clase 26 (8 de noviembre).