Clase 25 (6 de noviembre).
Espectro y espectro puntual. Ejemplo: operadores "diagonales". Ejemplo: el operador de Volterra. Si , entonces
. Proposición: Si
, entonces
y
son
-invariantes. Proposición: un operador
es normal sii
; si adem'as el cuerpo de escalaraes es
, las condiciones anteriores son equivalentes a que las partes real e imaginaria de
conmuten entre sí. Corolario: si
es un operador normal se tiene: (a)
; (b)
; (c)
reduce a
; (d) Si
, entonces
. Proposición: si
es compacto y
es un valor propio no nulo de
, entonces
. Proposición: si
es compacto y
es un valor propio no nulo de
tal que
, entonces
. Lema: si
es compacto y autoadjunto, entonces
o
es un valor propio
.
Teorema (espectral). Sea un operador compacto y autoadjunto en el espacio de Hilbert
, y para cada
sea
y
la proyección ortogonal de
sobre
; entonces:
(a) Si , se tiene \(\mathcal{H}_\lambda\perp
_\mu\) y
.
(c) Para todo el conjunto
es finito.
(d) es numerable; si es infinito entonces 0 es su único punto de acumulación. En consecuencia
, y se puede suponer que los valores propios
están ordenados de forma que
(f) en
. Más precisamente, si
es un subconjunto finito de
, entonces
.
(g) Si es un conjunto ortonormal de vectores propios de
(con
asociado al valor propio
), entonces
,
.
Clase 26 (8 de noviembre).
Teoremas básicos sobre espacios de Banach: teorema de la aplicación abierta (y su corolario el teorema de Banach), teorema del gráfico cerrado, y teorema de acotación uniforme. Ejemplos.