Análisis funcional 2023 (MA335)

Clase 3 (21 de agosto).

Un espacio vectorial topológico es de Hausdorff sii es $T_0$. Si $V$ es un entorno acotado de 0 y $r_n$ es una sucesión decreciente que tiende a 0, entonces la sucesión $r_nV$ es una base local. Algunos ejemplos de espacios vectoriales topológicos localmente convexos. Un evt sin entornos convexos no triviales: $L^p[0,1]$, con $p\in (0,1)$. 

Topologías iniciales. La topología inicial inducida por una familia de transformaciones lineales a valores en espacios vectoriales topológicos es vectorial, y es localmente convexa si cada uno de dichos espacios lo es también. Descripción de una base local de la topología inicial en términos de bases locales de los evt. Un caso particular: producto de evt. Otro caso particular: topologías inducidas por una familia de seminormas (espacios "polinormados").   

Clase 4 (23 de agosto).

Todo subconjunto compacto de un evt es acotado. Un evt de Hausdorff es localmente compacto sii es de dimensión finita.

Funcional de Minkowski de un conjunto absorbente. La funcional de Minkowski de un conjunto absorbente, balanceado y convexo es una seminorma. La bola abierta de radio 1 centrada en el origen correspondiente a la seminorma $\mu_V$ de un entorno abierto, convexo y balanceado $V$ coincide con $V$.