Sección: Semana 3 (28 de agosto - 1 de setiembre) | Análisis funcional 2023 (MA335)

Diagrama de temas

Página principal del curso

Semana 3 (28 de agosto - 1 de setiembre)
Clase 5 (28 de agosto).
Todo espacio localmente convexo es polinormable. Un espacio vectorial topológico es seminormable sii posee algún entorno convexo y acotado; en ese caso el espacio es de Hausdorff sii la seminorma es una norma. Un espacio localmente convexo es metrizable si y sólo si posee una base local numerable; en ese caso existe una métrica compatible que es invariante por traslaciones y tal que todas las bolas según ella son convexas y equilibradas. En general, un evt es metrizable sii tiene base local numerable, y en ese caso existe una métrica compatible que es invariante por traslaciones y tal que todas las bolas según ella son equilibradas (sin demostración). Espacios de Fréchet y $F$ -espacios. Si $0$ , $L^p(0,1)$ es un $F$ -espacio pero no es un espacio de Fréchet (el único entorno convexo en este espacio es el propio $L^p(0,1)$ ). Ejemplos: si $\Omega$ es un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}^k$ , el espacio $C(\Omega)$ con la convergencia uniforme sobre compactos es un espacio de Fréchet que no es normable. Si $\Omega$ es un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{C}$ , el subespacio $H(\Omega)$ de $C(\Omega)$ , cuyos elementos son las funciones holomorfas en $\Omega$ , es cerrado en $C(\Omega)$ , y por lo tanto también es un espacio de Fréchet; no es normable y tiene la propiedad de Heine-Borel, a saber: un subconjunto $E$ de $H(\Omega)$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Clase 6 (30 de agosto).
La continuidad de una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos equivale a su continuidad en algún punto. En el caso de funcionales lineales también equivale a que el núcleo sea cerrado, o a su acotación en algún entorno. En el caso en el que los espacios sean polinormados, la continuidad de transformaciones y funcionales lineales, así como de seminormas, puede expresarse cómodamente en términos de la familia de seminormas que define la topología. Espacios duales. Ejemplos. El espacio dual de $C(\Omega)$ con la convergencia uniforme sobre subconjuntos compactos de $\Omega$ se identifica con el espacio de las medidas de Borel complejas en $\Omega$ que son regulares y tienen soporte compacto. Lema: si $\psi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ son funcionales lineales tales que $\ker\psi\supseteq\cap_{j=1}^n\ker\varphi_j$ , entonces existen escalares $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tales que $\psi=\lambda_1\varphi_1+\cdots+\lambda_n\varphi_n$ .