Clase 7 (4 de setiembre).
Topología
inducida en un espacio vectorial
por un
subespacio vectorial
del dual (algebraico)
de
. Espacio dual (topológico),
de un espacio vectorial
topológico
. El espacio dual de
es
.
Topologías débiles:
sobre
y
sobre
. Convergencia en las topologías débiles. Ejemplos.
Operadores duales (o transpuestos). Continuidad en las topologías
débiles.
Medidas de Radon y distribuciones: primera aproximación. Topologías finales localmente convexas. Proposición: sea
la topología final localmente convexa inducida por la familia
de mapas lineales
. Entonces: (a)
es
una topología localmente convexa. (b) cada
es continua. (c) sean
un espacio localmente
convexo y
lineal; entonces
es
-continua si y sólo si
es
-continua para todo
. (d) si
es una
topología localmente convexa en
tal que
cada
es continua, entonces
.
Clase 8 (6 de setiembre).
Límites inductivos
estrictos. Extensión de seminormas: sea un sev topológico de un
espacio localmente convexo
;
(1) si es un entorno
equilibrado y convexo de 0 en
, entonces existe un entorno
equilibrado y convexo
de 0 en
tal que
;
(2) si
es una seminorma continua en
,
y
, entonces existe una seminorma
continua
que extiende a
y tal que
.
Proposición: Sea
la topología del límite inductivo en
correspondiente al
sistema inductivo estricto
. Entonces: (a)
. (b) si cada
es de
Hausdorff,
también lo es. (c) si
es cerrado en
para todo
, entonces
es cerrado en
para todo
. Lema:
si
es cerrado para todo
y
es una sucesión en
tal que
, entonces
no está acotada.