Clase 7 (4 de setiembre).

Topología $\sigma(X,X')$ inducida en un espacio vectorial $X$ por un subespacio vectorial $X'$ del dual (algebraico) $X^*_{\textrm{alg}}$ de $X$. Espacio dual (topológico), $X^*$ de un espacio vectorial topológico $X$. El espacio dual de $(X,\sigma(X,X'))$ es $X'$. Topologías débiles: $w$ sobre $X$ y $w^*$ sobre $X^*$. Convergencia en las topologías débiles. Ejemplos. Operadores duales (o transpuestos). Continuidad en las topologías débiles.

Medidas de Radon y distribuciones: primera aproximación. Topologías finales localmente convexas. Proposición: sea $\tau$ la topología final localmente convexa inducida por la familia de mapas lineales $f_i:(X_i,\tau_i)\to X$. Entonces: (a) $\tau$ es una topología localmente convexa. (b) cada $f_i:(X_i,\tau_i)\to (X,\tau)$ es continua. (c) sean $(Y,\tau_Y)$ un espacio localmente convexo y $T:X\to Y$ lineal; entonces $T$ es $\tau-\tau_Y$-continua si y sólo si $T\circ f_i$ es $\tau_i-\tau_Y$-continua para todo $i$. (d) si $\tau'$ es una topología localmente convexa en $X$ tal que  cada $f_i:(X_i,\tau_i)\to (X,\tau')$ es continua, entonces $\tau'\subseteq\tau$.

Clase 8 (6 de setiembre).

Límites inductivos estrictos. Extensión de seminormas: sea $Y$ un sev topológico de un espacio localmente convexo $(X,\tau)$; 

(1) si $W$ es un entorno equilibrado y convexo de 0 en $Y$, entonces existe un entorno equilibrado y convexo $V$ de 0 en $X$ tal que $W=V\cap Y$; 

(2) si $p:Y\to [0,\infty)$ es una seminorma continua en $Y$, $x_0\notin \overline{Y}$ y $\alpha\geq 0$, entonces existe una seminorma continua $q:X\to [0,\infty)$ que extiende a $p$ y tal que $q(x_0)=\alpha$.    

Proposición: Sea $\tau$ la topología del límite inductivo en $X$ correspondiente al sistema inductivo estricto $(X_n)_{n\geq 1}$. Entonces: (a) $\tau|_{X_n}=\tau_n,\ \forall n\geq 1$. (b) si cada $X_n$ es de Hausdorff, $X$ también lo es. (c) si $X_n$ es cerrado en $X_{n+1}$ para todo $n$, entonces $X_n$ es cerrado en $X$ para todo $n$. Lema: si $X_n$ es cerrado para todo $n$ y $(x_n)$ es una sucesión en $X$ tal que $x_n\in X_n\setminus X_{n-1}\ \forall n$, entonces $(x_n)$ no está acotada.