Clase 9 (11 de setiembre).
Proposición:
sea un sistema inductivo estricto tal que
es
cerrado en
para todo
, y sea
su límite:
(a) si , entonces
es
-acotado si y sólo si
existe
tal que
y
es
-acotado.
(b) si , entonces
es
-compacto si y
sólo si
existe
tal que
y
es
-acotado.
(c) una sucesión en
converge a
si y sólo si
existe
tal que
y
en
.
(d) una sucesión en
es de Cauchy si y sólo si
existe
tal que
y
es de Cauchy en
.
(e) es completo si y sólo si cada
es completo (en
particular si cada
es un espacio de Fréchet).
(f) si cada
tiene base numerable (en particular si es de Fréchet) y
es lineal, donde
es un espacio localmente convexo, entonces
es continua si y sólo si es secuencialmente continua.
(g) si
para todo
, entonces el límite inductivo no es
metrizable.
Clase 10 (13 de setiembre).
Funcionales lineales e hiperplanos; casos real y complejo. Separación de convexos por hiperplanos. Funcionales sublineales. Teorema de extensión de Hahn-Banach: si