Análisis funcional 2023 (MA335)

Clase 9 (11 de setiembre).

Proposición: sea $(X_n,\tau_n)$ un sistema inductivo estricto tal que $X_n$ es cerrado en $X_{n+1}$ para todo $n$, y sea $(X,\tau)$ su límite:

(a) si $E\subseteq X$, entonces $E$ es $\tau$-acotado si y sólo si existe $n$ tal que $E\subseteq X_n$ y $E$ es $\tau_n$-acotado.

(b) si $K\subseteq X$, entonces $K$ es $\tau$-compacto si y sólo si existe $n$ tal que $K\subseteq X_n$ y $K$ es $\tau_n$-acotado.

(c) una sucesión $(x_k)$ en $X$ converge a $x\in X$ si y sólo si existe $n$ tal que $(x_k)\subseteq X_n$ y $x_k\to_k x$ en $X_n$. 

(d) una sucesión $(x_k)$ en $X$ es de Cauchy si y sólo si existe $n$ tal que $(x_k)\subseteq X_n$ y $(x_k)$ es de Cauchy en $X_n$.

(e) $X$ es completo si y sólo si cada $X_n$ es completo (en particular si cada $X_n$ es un espacio de Fréchet).

(f) si cada $X_n$ tiene base numerable (en particular si es de Fréchet) y $T:X\to Y$ es lineal, donde $Y$ es un espacio localmente convexo, entonces $T$ es continua si y sólo si es secuencialmente continua.

(g) si $X_n\neq X_{n+1}$ para todo $n$, entonces el límite  inductivo no es metrizable.

Clase 10 (13 de setiembre).