Análisis funcional 2023 (MA335)

Clase 11 (18 de setiembre).

Teorema de separación de Hahn-Banach: sean $X$ un espacio vectorial topológico, $A$ y $B$ conjuntos convexos disjuntos y no vacíos de $X$; entonces: (a) Si $A$ es abierto existen una funcional lineal continua $\varphi$ en $X$ y $\gamma\in\mathbb{R}$ tales que $\textrm{Re}\,\varphi(a)< \gamma \leq$ $\textrm{Re}\,\varphi(b)$, $\forall a\in A$ y $\forall b\in B$; (b) si $A$ es compacto y $B$ es cerrado, y si $X$ es localmente convexo, entonces existen una funcional lineal continua $\varphi$ en $X$ y $\gamma_1, \gamma_2\in\mathbb{R}$ tales que $\textrm{Re}\,\varphi(a)< \gamma_1 < \gamma_2 \leq \textrm{Re}\,\varphi(b)$, $\forall a\in A$ y $\forall b\in B$.

Algunos corolarios: 1-El dual de un espacio localmente convexo $X$ de Hausdorff separa los puntos de $X$, y por lo tanto $(X,w)$ es un ELC de Hausdorff (esto siempre ocurre, en particular, si $X$ es un espacio normado). 2- Si $X,\tau)$ es un ELC y $C\neq X$ es un subconjunto convexo, entonces $\overline{C\,}^{\tau}$ coincide con la intersección de los semiespacios cerrados que contienen a $C$. 3- Si $X,\tau_1)$ y $X,\tau_2)$ son ELC que tienen el mismo espacio dual, y $C\subseteq X$ es un subconjunto convexo, entonces  $\overline{C\,}^{\tau_1}=\overline{C\,}^{\tau_2}$. 4- Si $X,\tau)$ es un ELC (por ejemplo un espacio seminormado) y $C\neq X$ es un subconjunto convexo, entonces $\overline{C\,}^{\tau}=\overline{C\,}^{w}$, es decir, la clausura débil de un convexo coincide con su clausura en la topología original; en particular los subconjuntos (subespacios) convexos son cerrados en la topología original si y sólo si son débilmente cerrados.  

Clase 12 (20 de setiembre).