Sección: Semana 8 (2-6 de octubre) | Análisis funcional 2023 (MA335)

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Semana 8 (2-6 de octubre)
Clase 15 (2 de octubre).
Si $X$ es un espacio normado separable, entonces la bola unidad de $X'$ con la topología $w^*$ es metrizable. Una aplicación de Alaoglu: todo espacio normado es un subespacio normado de $(C(\Omega),\|\ \|_\infty)$ para algún espacio de Hausdorff compacto $\Omega)$ , que puede ser tomado metrizable si el espacio normado de partida es separable.
Subconjuntos extremales y puntos extremales. La relación $S$ es subconjunto extremal de $K$ es transitiva, y en particular $\textrm{ext}(S)\subseteq \textrm{ext}(K)$ si $S\subseteq K$ . Si una intersección de subconjuntos extremales es no vacía, entonces es ella misma un subconjunto extremal. La preimagen de un subconjunto extremal por una función afín es extremal. En particular si $K$ es un conjunto compacto de un evt $X$ , $\varphi\in X'$ , y $\mu:=\max_{y\in K} \{ \textrm{Re}\,\varphi(y) \}$ , entonces $K_\varphi :=\{ x\in K:\, \textrm{Re}\,\varphi(x)=\mu \}$ es un subconjunto extremal de $K$ .
Clase 16 (4 de octubre).

Un teorema de Hahn-Banach de separación de compactos convexos disjuntos en un evt cuyo dual separa puntos. Teorema de Krein-Milman: si $K$ es un subconjunto compacto y no vacío de un evt $(X,\tau)$ en el que $X'$ separa puntos, entonces $\textrm{ext}(K)\neq\emptyset$ ; si además $K$ es convexo, se tiene $K=\overline{\textrm{conv}(\textrm{ext}(K))}^\tau$ . Si $(X,\tau)$ es localmente convexo y de Hausdorff, y $K\subseteq X$ es compacto y no vacío, entonces $K\subseteq\overline{\textrm{conv}(\textrm{ext}(K))}^\tau$ . Una aplicación del teorema de Alaoglu y Krein-Milman combinados: si $\Omega$ es de Hausdorff y localmente compacto, pero no compacto, entonces $C_0(\Omega)$ no es un espacio dual.
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