Clase 15 (2 de octubre).

Si $X$ es un espacio normado separable, entonces la bola unidad de $X'$ con la topología $w^*$ es metrizable. Una aplicación de Alaoglu: todo espacio normado es un subespacio normado de $(C(\Omega),\|\ \|_\infty)$ para algún espacio de Hausdorff compacto $\Omega)$, que puede ser tomado metrizable si el espacio normado de partida es separable.

Subconjuntos extremales y puntos extremales. La relación $S$ es subconjunto extremal de $K$ es transitiva, y en particular $\textrm{ext}(S)\subseteq \textrm{ext}(K)$ si $S\subseteq K$. Si una intersección de subconjuntos extremales es no vacía, entonces es ella misma un subconjunto extremal. La preimagen de un subconjunto extremal por una función afín es extremal. En particular si $K$ es un conjunto compacto de un evt $X$, $\varphi\in X'$, y $\mu:=\max_{y\in K} \{ \textrm{Re}\,\varphi(y) \}$, entonces $K_\varphi :=\{ x\in K:\, \textrm{Re}\,\varphi(x)=\mu \}$ es un subconjunto extremal de $K$.