Clase 15 (2 de octubre).
Si es un espacio normado separable, entonces la bola unidad de
con la topología
es metrizable. Una aplicación de Alaoglu: todo espacio normado es un subespacio normado de
para algún espacio de Hausdorff compacto
, que puede ser tomado metrizable si el espacio normado de partida es separable.
Subconjuntos extremales y puntos extremales. La relación es subconjunto extremal de
es transitiva, y en particular
si
. Si una intersección de subconjuntos extremales es no vacía, entonces es ella misma un subconjunto extremal. La preimagen de un subconjunto extremal por una función afín es extremal. En particular si
es un conjunto compacto de un evt
,
, y
, entonces
es un subconjunto extremal de
.
Un teorema de Hahn-Banach de separación de compactos convexos disjuntos en un evt cuyo dual separa puntos. Teorema de Krein-Milman: si es un subconjunto compacto y no vacío de un evt
en el que
separa puntos, entonces
; si además
es convexo, se tiene
. Si
es localmente convexo y de Hausdorff, y
es compacto y no vacío, entonces
. Una
aplicación del teorema de Alaoglu y Krein-Milman combinados: si
es de Hausdorff y localmente compacto, pero no compacto, entonces
no es un espacio dual.