Diagrama de temas
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Clase 15 (2 de octubre).
Si X es un espacio normado separable, entonces la bola unidad de X′ con la topología w∗ es metrizable. Una aplicación de Alaoglu: todo espacio normado es un subespacio normado de (C(Ω),‖ ‖∞) para algún espacio de Hausdorff compacto Ω), que puede ser tomado metrizable si el espacio normado de partida es separable.
Subconjuntos extremales y puntos extremales. La relación S es subconjunto extremal de K es transitiva, y en particular ext(S)⊆ext(K) si S⊆K. Si una intersección de subconjuntos extremales es no vacía, entonces es ella misma un subconjunto extremal. La preimagen de un subconjunto extremal por una función afín es extremal. En particular si K es un conjunto compacto de un evt X, φ∈X′, y μ:=maxy∈K{Reφ(y)}, entonces Kφ:={x∈K:Reφ(x)=μ} es un subconjunto extremal de K.
Clase 16 (4 de octubre).Un teorema de Hahn-Banach de separación de compactos convexos disjuntos en un evt cuyo dual separa puntos. Teorema de Krein-Milman: si K es un subconjunto compacto y no vacío de un evt (X,τ) en el que X′ separa puntos, entonces ext(K)≠∅; si además K es convexo, se tiene K=¯conv(ext(K))τ. Si (X,τ) es localmente convexo y de Hausdorff, y K⊆X es compacto y no vacío, entonces K⊆¯conv(ext(K))τ. Una aplicación del teorema de Alaoglu y Krein-Milman combinados: si Ω es de Hausdorff y localmente compacto, pero no compacto, entonces C0(Ω) no es un espacio dual.