Sección: Semana 9 (9-13 de octubre) | Análisis funcional 2023 (MA335)

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Semana 9 (9-13 de octubre)
Clase 17 (9 de octubre).
Formas sesquilineales e identidades de polarización. (Semi)productos internos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. (Semi)norma inducida por un (semi)producto interno. Espacios pre-hilbertianos y espacios de Hilbert. Algunos ejemplos. Si $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert, $h\in \mathcal{H}$ y $C\subseteq \mathcal{H}$ es un subconjunto convexo, cerrado y no vacío, entonces existe un único $h_0\in C$ tal que $\|h-h_0\|=d(h,C)$ . Si $M\subseteq\mathcal{H}$ es un subespacio cerrado, $h\in \mathcal{H}$ y $h_0\in M$ , entonces $\|h-h_0\|=d(h,M)\iff h-h_0\perp M$ . El elemento $h_0$ se llama proyección ortogonal de $h$ sobre $M$ , y se denota $P_M(h)$ .
Clase 18 (11 de octubre).
La proyección ortogonal $P_M$ de $\mathcal{H}$ sobre $M$ es una transformación lineal de norma 1 (a menos que $M=0$ , en cuyo caso es $P_M=0$ ), cuya imagen es $M$ y su núcleo es $M^\perp$ . Además $\mathcal{H}=M\oplus M^\perp$ . Se deduce que, si $A\subseteq\mathcal{H}$ , entonces $(A^\perp)^\perp=\overline{\textrm{span}\,A}$ . El mapa $\phi:\mathcal{H}\to\mathcal{H}'$ , tal que $\phi_a:\mathcal{H}\to\mathbb{F}$ está dado por $\phi_a(h):=\langle h,a\rangle$ , es antilineal e isométrico (y por lo tanto inyectivo). El teorema de representación de Riesz dice que además es sobreyectivo; en otras palabras, si $\psi\in\mathcal{H}'$ , entonces existe un único $a\in\mathcal{H}$ tal que $\psi=\phi_a$ . Todo espacio de Hilbert es reflexivo. Operadores duales y operadores adjuntos. Conjuntos y bases ortonormales. Todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal. Desigualdad de Bessel: si $\mathcal{E}$ es ortonormal, entonces $\sum_{e\in \mathcal{E}}|\langle h,e\rangle|^2\leq\|h\|^2$ , para todo $h\in\mathcal{H}$ . Dados $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{H}$ ortonormal y $h\in\mathcal{H}$ , para cafa subconjunto finito $F\subseteq \mathcal{E}$ se considera el elemento $s_F(h):=\sum_{e\in F}\langle h,e\rangle e\in M:=\overline{\textrm{span}\,\mathcal{E}}$ ; entonces $s_F(h)\to P_M(h)$ .