Ecuaciones Diferenciales-2025
Contorno da seção
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Teórico:
- Lunes: Problema de los 3 cuerpos. Presentación del programa del curso. Ecuaciones de variables separables.
- Miércoles: Ecuaciones exactas.
Práctico: Empezamos con el Práctico 1.
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Teórico:
- Lunes: Feriado.
- Miércoles: Observación sobre no existencia de soluciones y soluciones múltiples en ecuaciones exactas. Ecuaciones lineales de primer orden: resolución del caso homogéneo, estructura del conjunto de soluciones de una ecuación no homogénea, método de variación de constantes.
Práctico: Trabajamos con el práctico 1
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Teórico:
- Martes: Ecuaciones lineales de segundo orden: Estructura del conjunto de soluciones. Ecuación homogénea asociada. Resolución del caso homogéneos con coeficientes constantes.
- Jueves: Solución del caso no homogéneo (método de variación de constantes). Introducción a los resultados de existencia y unicidad de soluciones.
Práctico: Seguimos con el Práctico 1.
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Teórico:
- Lunes: Enunciado del Teorema de Peano y el Teorema de Picard. Definición de propiedad Lipschitz local en la segunda variable. Prueba de que una función
es localmente Lipschitz. Soluciones maximales. - Miércoles: Teorema de escape de compactos. Aplicación a un par de ejemplos. Prueba de que si una solución maximal tiene imagen acotada, entonces está definida para todo tiempo.
Práctico: Empezamos el Práctico 2.
- Lunes: Enunciado del Teorema de Peano y el Teorema de Picard. Definición de propiedad Lipschitz local en la segunda variable. Prueba de que una función
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Teórico:
- Lunes: Definición de espacio métrico, convergencia, funciones continuas, Lipschitz y contracciones. Definición de completitud. Teorema del punto fijo. Distancia del supremo en espacios de funciones acotadas.
- Miércoles: Completitud del espacio de funciones acotadas y del espacio de funciones continuas acotadas. Demostración del Teorema de Picard.
Práctico: Seguimos con el Práctico 2.
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Teórico:
- Lunes: No hubo clase por día del funcionario universitario.
- Miércoles: Repaso de la demostración del teorema de Picard. Definición de solución general de una ecuación diferencial y teorema de dependencia continua de las condiciones iniciales. Definición de ecuación lineal en
. Norma de matrices. Lema de Gronwall.
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Teórico:
- Lunes: Prueba de que las ecuaciones lineales tienen solución y que las soluciones maximales están definidas para todo tiempo.
- Miércoles: Definición de la exponencial de una matriz. Forma de la solución de la ecuación homogénea con coeficientes constantes. Propiedades de la exponencial y aplicación al cálculo de la exponencial de cualquier matriz.
Práctico: Trabajamos con el práctico 2.
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Teórico:
- Lunes: Estudio de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes en el plano: diagramas de fase y discusión según los valores propios de la matriz.
- Miércoles: Ejemplo: ecuación del resorte. Matriz fundamental. Método de variación de constantes.
Práctico: Trabajamos con el práctico 3.
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Teórico:
- Lunes: Parcial.
- Miércoles: Propiedades de convergencia uniforme: Criterio de Weierstrass, propiedades de integrabilidad y diferenciabilidad. Prueba de que la exponencial de la matriz
Práctico: Comentamos la solución del parcial y trabajamos con el práctico 3.
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Teórico:
- Lunes: Ecuaciones autónomas: Definición y ejemplos, flujo local asociado, soluciones (y puntos) periódicas, puntos de equilibrio, órbita de un punto.
- Jueves: Definición de trayectoria y punto de equilibrio estable y asintóticamente estable. Ejemplo del péndulo simple: usamos la conservación de la energía para bosquejar el diagrama de fase y clasificar los puntos de equilibrio.
Práctico: Empezamos el Práctico 4.
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Teórico:
- Lunes: Definición de preintegral y de derivada de Lyapunov. Teoremas de Lyapunov.
- Miércoles: No hubo clase.
Práctico: No hubo clase.
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Teórico:
- Lunes: Ejemplo de que la estabilidad de un punto de equilibrio no implica la existencia de una función en las hipótesis del primer teorema de Lyapunov. Enunciado del Teorema de Massera. Teorema de Cetaev. Introdución de la ecuación de calor.
- Miércoles: Ecuación de calor. Método de separación de variables para el problema de una barra con temperatura cero en los extremos. Discusión sobre los valores iniciales de las soluciones encontradas.
Práctico: Trabajamos con el práctico 4.
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Teórico:
- Lunes: Series de Fourier: Definición del producto interno en el espacio de funciones periódicas continuas a trozos, definición de serie de Fourier, teorema de convergencia de la serie de Fourier de una función en la norma definida en el espacio, Desigualdad de Bessel, Identidad de Parseval, Teorema de Dini y convergencia puntual.
- Miércoles: No hay clase por elecciones universitarias.
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Teórico:
- Lunes: Segundo parcial.
- Miércoles: Repaso de series de Fourier y del problema de Dirichlet para la ecuación de calor en la barra. Resolución usando la serie de Fourier de la condición inicial.
Práctico: Trabajamos con el práctico 5.
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Teórico:
- Lunes: Prueba del teorema de existencia de soluciones para el problema de la ecuación de calor en una barra con extremos a temperatura cero. Ecuación de onda y problema de la cuerda con extremos fijos: búsqueda de soluciones no nulas usando separación de variables.
- Miércoles: Teorema de existencia de solución para el problema de la cuerda con extremos fijos. Teorema de unicidad.
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