Complemento la respuesta con un comentario que voy a hacer el clase, pero prefiero que también quede registrado acá. En la expresión para la función de Green en coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ aparece una dependencia en polinomios de Legendre $P_l(\cos(\gamma))$ siendo gamma el ángulo entre los vectores $\vec{r}$ y $\vec{r}'$. Si $\vec{r}$ está sobre el eje $z$ entonces $\gamma$ coincide con el ángulo $\theta'$ correspondiente al punto $\vec{r}'$ y por eso la expresión es más sencilla para el potencial en el eje.

Saludos, Rodrigo.