Grupos y Teoría de Galois 202121: Duda sobre generador finito

Hola una consulta, si tenemos que

$G=$ ¿Está bien decir que

$G=\{a^nb^m | n,m \in \mathbb{Z} \}$ ?
La duda surge en el caso que

$ab \neq ba$ , ya que ahí me estarían faltando elementos de

$G$ , por ejemplo

$ba$ . La solución que se me ocurre es decir que

$G= \{a^nb^m | n,m \in \mathbb{Z} \} \cup \{b^na^m | n,m \in \mathbb{Z} \}$ . ¿Esto seria correcto?

Saludos.

Re: Duda sobre generador finito

by Abella Andrés - Tuesday, 4 May 2021, 1:13 PM

Hola, Brian. Si

$a$ y

$b$ no conmutan, entonces no tiene por qué haber una descripción simple de

$\langle a,b \rangle$ .

Lo que vos escribís en general no funciona, por ejemplo

$aba$ no está en ninguno de esos dos conjuntos.

Lo que sucede en varios de los casos que aparecen en el curso, es que suele haber relaciones de conmutación entre los elementos. Por ejemplo, si vale

$ba=ab^3$ , entonces todo elemento de

$\langle a,b \rangle$ lo vas a poder escribir de la forma

$a^nb^m$ para ciertos enteros

$n,m$ . Eso sale (por ejemplo) usando el ejercicio 2 del práctico 2.