Por ejemplo para la parte d (digo por ejemplo porque hice casi lo mismo para una parte anterior) de probar que S⁻¹ (I + J) = S⁻¹ I + S⁻¹ J, vale lo siguiente?

Como para  i ∈ I  y  j ∈ J  vale  i / 1 + j / 1  =  (i + j) / 1 ∈ S⁻¹ I + S⁻¹ J, entonces tenemos bien definido un η : I + J → S⁻¹ I + S⁻¹ J.  También η(S) es trivialmente invertible en S⁻¹ I + S⁻¹ J.

Propiedad universal y se tiene que ∃! f : S⁻¹ (I +J) → S⁻¹ I + S⁻¹ J tal que f ∘ η = η. Como f es única y la identidad satisface esa igualdad, estamos.