Anillos y Módulos 2021: Ejercicio 16 parte b del práctico 7

Hola, estoy hace un rato con está parte, pude probar que si

$p \neq q$ entonces la sucesión

$0 \rightarrow \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{Z}_{pq} \rightarrow \mathbb{Z}_q \rightarrow 0$ escinde utilizando el teorema chino de los restos (como en el teórico de hoy). Los ideales

$(p)$ y

$(q)$ funcionan bien.

Pero tengo problemas con la otra parte: Si esa sucesión escinde, entonces

$p \neq q$ .
Lo que se me ocurre es usar un argumento de grupos, con lo del grado es sencillo ver que

$\mathbb{Z}_{p^2} \neq \mathbb{Z}_p \bigoplus \mathbb{Z}_p$ . Pero no se me ocurrio ningún argumento usando cosas de anillos o módulos, ¿Cómo se podría hacer?