Hola Joaquín, qué tal?

Primero que nada, te edité la pregunta para ponerle sombreritos y flechitas a los versores y vectores $\hat{e},\vec{a}$, etc.
Por otro lado, hay 2 cosas que no están bien:
1) Estás asumiendo ya la solución. Al decir que $r=R$ y que $\phi=\omega t+\phi_0$ ya estás diciendo $x=R\,cos(\omega t+\phi_0)$ e $y=R\,sen(\omega t+\phi_0)$ sin necesidad de ir a integrar la aceleración y velocidad...
Por el contrario, si decís que $\phi=arccos(x/R)=arcsen(y/R)$ entonces sí podrías realizar sin mayores inconvenientes llegando sin problemas a la solución deseada.
2) La solución que ponés no es correcta. Quizás haya algún typo (estaría mal unitariamente tu expresión) sumado a un error en la deducción. Esas expresiones de $x(t)$ e $y(t)$ no son correctas.

Saludos!