Está bastante bien encarado. Hay algumos detalles que habría que justificar un poco más, como el porqué $f~$ es biyectiva (aunque es bastante claro) y el hecho de que $#B=#Im(f)+#(B\Im(f))$. Ahí estás usando la idea intuitiva de que cardinal es "cantidad de elementos", cuando no es así que lo definimos (de hecho, es lo que queremos probar). Capaz podés intentar probar esa igualdad de cardinales.

Si no, la prueba usual es ver que $f\circ g$ es inyectiva, componer esta con $h$ y tenés que $h\circ f\circ g$ es una función inyectiva de $\{1,\dots,n\}$ en $\{1,\dots,m\}$ y eso ya probamos que implica $n \leq m$.
Saludos.