1) No usaremos inducción ni la parte a)

2) Tomemos un vértice de grado mínimo $x\in V$. Sea $gr(x)=k$. Vamos a probar que $gr(y)\geq n-k$ para cualquier $y\neq x$. 

Observar que con eso estamos en las hipótesis de Ore, puesto que dados $v\neq v'$ vértices cualesquiera (no es necesario pedir no adyacencia), se puede suponer sin pérdida de generalidad que $v\neq x$ y por lo tanto $gr(v)+gr(v')\geq gr(v)+gr(x)\geq n$.

Quedaría entonces probada la existencia de un ciclo Hamiltoniano.

3) Consideremos el grafo $G'$ inducido por $V'=V-\{x\}$ y llamemos $E'$ a su conjunto de aristas. Es claro que $\#V'=n-1$ y que $\#E'\geq C^{n-1}_2+2-k=C^{n-1}_2-(k-2)$, es decir que $G'$ es un grafo completo al que se le han quitado $k-2$ aristas.

4) Cada vértice $y\in V'$ puede estar conectado, dentro de $G'$, con los $n-2$ vértices restantes de $V'$ excepto $e$ aristas que se hayan quitado, con $e\leq k-2$. Se tiene $gr_G(y)\geq gr_{G'}(y)=n-2-e \geq n-2-(k-2)=n-k$, como queríamos demostrar.