Ejercicio 2 de Práctico 2

Ejercicio 2 de Práctico 2

by ESTRAMIL AGUSTIN -
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Hola!

En este ejercicio supongo que para definir la medida de probabilidad hay que hacerlo de forma axiomática con los axiomas de Kolmogórov (https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_probabilidad ). Entonces si uno se toma \Omega = \mathbb{R} y \mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathbb{R}), usando los axiomas se puede ver que

1 = P(\mathbb{R}) = P( (-\infty,0] \cup (0, \infty) ) + P( (-\infty,0] ) + P( (0, \infty) ).

Entiendo que si la probabilidad es invariante ante traslaciones entonces se tiene que P( (0, \infty) ) = P( 1 + (0, \infty)  ) = P( (1, \infty) ) y sustituyendo esta última en la igualdad anterior se llega a una contradicción porque se tiene que un conjunto más chico que \mathbb{R} tiene probabilidad 1.

Lo que no me queda muy claro es por qué o cómo proceder para probar que se cumple para el intervalo [0,1], ¿me podrían dar una mano?

Muchas gracias!

Saludos.
In reply to ESTRAMIL AGUSTIN

Re: Ejercicio 2 de Práctico 2

by POTRIE RAFAEL -
Hola,

Una medida es una función de una sigma algebra que asigna a cada conjunto un valor en $[0, \infty]$ y que cumple la propiedad de aditividad numerable (es decir, medida de una unión numerable disjunta es igual a la suma de las medidas de los conjuntos que hacen la unión). Ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

(NOTA: el ejercicio implícitamente asume que una probabilidad en $\mathbb{R}$ tiene que ser una medida definida en la sigma algebra de Borel, queda en cada uno chequear que tan importante es esta suposición implícita en el ejercicio.)

La prueba que decís para ver que no hay probabilidades en $\mathbb{R}$ está casi bien, porque tenes que argumentar de alguna manera que la medida de $(0,1]$ no puede ser nula (si lo fuese, lo que decís no sería aún una contradicción).

Por último, para el caso de $[0,1]$ conviene primero preguntarse que significa ser invariante por translaciones en $[0,1]$ dado que el conjunto en sí mismo no lo es. Una vez entendido eso, te sugiero que pienses primero que ocurre con una medida particular que construimos en clase. Otra pregunta que pueden hacerse es la unicidad, cosa que es algo más difícil.