Ejercicio 4 de Práctico 3

Ejercicio 4 de Práctico 3

by ESTRAMIL AGUSTIN -
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Buenas noches,

Estaba pensando la parte a de este problema y no estoy del todo seguro si mi procedimiento es correcto:

La idea que se me ocurrió es definir C = \lbrace x\in [0,1]: f \text{ continua en } x\rbrace. Dado y \in C, como f es continua en y, para cualquier abierto \mathcal{O} que contenga a f(y), existe un intervalo abierto J\subset f^{-1}(\mathcal{O}) tal que y \in J. Como f es continua en J, o bien J está en E o bien en su complemento. ¿Es correcto concluir entonces que la única forma que se de que m(E^c\cap I) >0 y m(E\cap I)>0 es que C=\emptyset ?

Muchas gracias.

Un saludo, Agustin
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Re: Ejercicio 4 de Práctico 3

by Martinchich Santiago -
Hola Agustín,

Siguiendo tu razonamiento, por qué f sería continua en J? En principio sólo sabés que es continua en el punto y (que está contenido en J), no?

Y en caso de ser f continua en J, cómo se deduce de eso que J está contenido en E o en su complemento?

Saludos
In reply to Martinchich Santiago

Re: Ejercicio 4 de Práctico 3

by ESTRAMIL AGUSTIN -
Buenas,

mi razonamiento era por la definición de f que es f = \chi_E. Entonces si f es continua en y\in f^{-1}(\mathcal{O}) entonces f tiene que ser constante (1 ó 0) en todo f^{-1}(\mathcal{O}) , como este último es abierto entonces puede ser escrito como unión disjunta de intervalos abiertos y me refería a tomar J como uno de esos intervalos.

Saludos
In reply to ESTRAMIL AGUSTIN

Re: Ejercicio 4 de Práctico 3

by POTRIE RAFAEL -
Creo que lo que quiso decir Santiago es que necesitas justificar que la función sea continua en $J$ (es decir, explicitar correctamente quién es el intervalo) y también justificar porque eso implica que sea constante también (habiendo elegido correctamente los $\epsilon$ y $\delta$ para que la continuidad implique lo que afirmás).

Pero creo que el global del argumento parece ir en la dirección correcta.

Sds