Hola, luego de la clase de ayer me dí cuenta de que la discusión del ejercicio 3 del práctico 3 estaba mal. Paso a explicar y si quieren la seguimos en la próxima clase.

Si bien es cierto que el desplazamiento D y el campo E tienen relaciones lineales tanto dentro como fuera de la esfera dieléctrica, no es cierto que D sea irrotacional en todo el espacio debido a la presencia de la frontera (borde de la esfera). Esto impide resolver trivialmente la forma del vector D en todo el espacio tomando en cuanta sólo la carga libre.

Entonces ¿cómo se ataca el problema con los elementos del curso? La solución es resolver el potencial escalar eléctrico separando dos regiones: el interior y el exterior de la esfera. Para el interior se propone una solución de Laplace en esféricas y para el exterior la solución es la suma de una solución de Laplace (en esféricas) más $\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|r-r_0|}$ (escrito en esféricas), donde $r_0$ es la posición de la carga puntual en el exterior de la esfera. De esta manera el problema se reduce a obtener los coeficientes de ambas soluciones de Laplace con condiciones de borde en r=0 (suavidad), r=infinito (caída del potencial) y r=radio de la esfera (condiciones de interfaz).

Acá usamos que la ecuación de Poisson es lineal y entonces una solución se obtiene como suma de una solución particular (expresión usual para el campo de una carga puntual) más la solución de la ec. homogenea (Ec de Laplace).

Espero que esto ayude a corregir y aclarar ese ejercicio.

Saludos, Rodrigo.