Estimados,

Sobre el ejemplo 9.7:

Observen que 

$E(1_{F \in I} S_n/n) = \frac{1}{n} \sum_k^n E(1_{F \in I} X_k) =  E(1_{F \in I} X_k)$. 

Ahi se usa que son idénticamente distribuidas. Luego, 

$E(1_{F \in I} S_n/n) =  E(1_{F \in I} X_k) = \frac{1}{n+1} \sum_k^{n+1} E(1_{F \in I} X_k)  = \frac{S_{n+1}}{n+1}$ 

en donde en la segunda igualdad se usa que $X_{n+1}$ es independiente de las anteriores. ¿Por qué no ponemos $\frac{S_{n+2}}{n+2}$?. En principio, no hay ningún problema en poner esa función como esperanza condicional,

$E(1_{F \in I} S_n/n) =  \frac{1}{n+2} \sum_k^{n+2} E(1_{F \in I} X_k)  = \frac{S_{n+2}}{n+2}$, y es una función del vector aleatorio $F$. Pero, observar que estamos asumiendo $E(1_{F \in I} X_1) = E(1_{F \in I} X_{n+2})$, lo cual no es cierto, ya que $X_{n+2} = S_{n+2} - S_{n+1}$.

Además, por unicidad de esperanza condicional, se debería cumplir 

$\frac{S_{n+1}}{n+1} = \frac{S_{n+2}}{n+2} = \left( \frac{S_{n+1}}{n+1} \right) \frac{n+1}{n+2} + \frac{S_{n+2} - S_{n+1}}{n+2} \quad c.s.$, lo cual no es cierto.

Sobre el ej. 21:

En las hipótesis del teorema 9.7 dice que las v.a. son i.i.d., lo cual quiere decir que son globalmente independientes. En el enunciado del problema, les dice que son independientes dos a dos. independencia dos a dos no implica globalmente independientes. Sin embargo, hay generalizaciones del teorema de Kolmogorov para variables independientes dos a dos. Repasen la prueba del libro, verificando si se puede relajar la hipótesis de globalmente independientes a independientes dos a dos (sugerencia: observar en dónde se usa independencia en el ejemplo 9.7)

Saludos,

Javier