ejercicio 6

ejercicio 6

de BERASAIN PEDRO -
Número de respuestas: 1

Buenas, tengo alunas dudas referentes al ejercicio 6 del práctico 2.

sea f(x):\Re\longrightarrow\Re definida por f(x)=\{(\frac{x}{2})+(x^2)sin(\frac{1}{x}),si\  x\neq0\qquad 0, si\ x=0

Primero que nada se pide que calculemos el diferencial de la función en el 0 y veamos que no es inyectivo, pero entiendo que el diferencial de la función en cero debe ser identicamente cero, ya que la funcion en este punto es la constante cero. Sin embargo si que puedo calcularlo en un entorno del cero, y es claramente inyectivo, pero no puedo evaluarlo en cero, ya que tengo un 1/x.

Luego pide probar que f no tiene inversa en ningún entorno del cero, y no sabría como argumentar esto utilizando lo anterior, ya que me gustaría decir que no puede tener inversa porque el diferencial en cero es la matriz nula que no es invertible. pero esta tampoco es inyectiva por lo que no estaria en correspondencia con la parte anterior.

Saludos!
En respuesta a BERASAIN PEDRO

Re: ejercicio 6

de POTRIE RAFAEL -
Hola Pedro,

Para calcular el diferencial, podés usar el cociente incremental, también será una función 'partida'. Para x \neq 0 tenes que f' está bien definida y tiene una fórmula (que en 0 no podés evaluar), pero en x=0 podés calcular el límite de f(h)/h con h\to 0 y eso, si tiene límite, es la 'derivada' en 0.

Lo que pide es que muestres que esa derivada es inyectiva, que como es de R a R equivale a decir que no es 0.

Para la parte b, la idea no es usar la parte a), aunque haber calculado la derivada de f fuera de 0 te puede servir (si probas que no es inyectiva en ningún entorno de 0 probas que no puede ser localmente invertible, y mirando con cuidado la derivada podes ver que f alterna entre ser creciente y decreciente).