Hola Pedro,
Para calcular el diferencial, podés usar el cociente incremental, también será una función 'partida'. Para x \neq 0 tenes que f' está bien definida y tiene una fórmula (que en 0 no podés evaluar), pero en x=0 podés calcular el límite de f(h)/h con h\to 0 y eso, si tiene límite, es la 'derivada' en 0.
Lo que pide es que muestres que esa derivada es inyectiva, que como es de R a R equivale a decir que no es 0.
Para la parte b, la idea no es usar la parte a), aunque haber calculado la derivada de f fuera de 0 te puede servir (si probas que no es inyectiva en ningún entorno de 0 probas que no puede ser localmente invertible, y mirando con cuidado la derivada podes ver que f alterna entre ser creciente y decreciente).
Para calcular el diferencial, podés usar el cociente incremental, también será una función 'partida'. Para x \neq 0 tenes que f' está bien definida y tiene una fórmula (que en 0 no podés evaluar), pero en x=0 podés calcular el límite de f(h)/h con h\to 0 y eso, si tiene límite, es la 'derivada' en 0.
Lo que pide es que muestres que esa derivada es inyectiva, que como es de R a R equivale a decir que no es 0.
Para la parte b, la idea no es usar la parte a), aunque haber calculado la derivada de f fuera de 0 te puede servir (si probas que no es inyectiva en ningún entorno de 0 probas que no puede ser localmente invertible, y mirando con cuidado la derivada podes ver que f alterna entre ser creciente y decreciente).