Hola, 

Respondo parcialmente, cualquier cosa, sigan preguntando. 

Ejercicio 5: La idea es mostrar que la inversa es continua. Eso es con respecto a la topología relativa de la variedad. Es decir, si fijas un punto en \varphi(U), digamos que sea \varphi(x) y tomas un entorno V de x en U, querés ver que existe W entorno de \varphi(x) en \RR^n de forma tal que todo punto de W \cap \varphi(U) es imágen de algún punto de V por \varphi. 

Eso en cuanto a la expresión en fórmulas de lo que se busca. Para cómo hacerlo, sugiero jugar con las formas locales de inmersiones/submersiones. 

Ejercicio 7b  un plano paralelo a T_pS (que es un subespacio vectorial) por un punto es simplemente transladar el subespacio por el punto. Como se hace en álgebra líneal. 

sds