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La desigualdad de Bessel dice que si $\{e_k\}$ es un conjunto ortonormal en un espacio con producto interno $V$, entonces para todo $v\in V$ se cumple
$\sum_{k=1}^{+\infty} |\langle v, e_k \rangle|^2\leq \|v\|^2$.
Esto es porque la proyección ortogonal de $v$ sobre el subespacio generado por $n$ vectores $e_1,\ldots,e_n$ es
$S_n(v)=\sum_{k=1}^n \langle v, e_k \rangle e_k,$
luego por el teorema de Pitágoras $\|v\|^2=\|S_n(v)\|^2+\|v-S_n(v)\|^2\geq \|S_n(v)\|^2$, y como los vectores $e_k$ son ortonormales,
$\|v\|^2\geq \left\|\sum_{k=1}^n \langle v, e_k \rangle e_k\right\|^2=\sum_{k=1}^n|\langle v, e_k \rangle|^2$
(usando de nuevo Pitágoras).

Esto implica que la serie 

converge y lo hace a un número menor o igual a $\|v\|^2$.

 

La identidad de Parseval es un resultado más fuerte que se da en el espacio de funciones periódicas y continuas a trozos que estudiamos. En concreto es la igualdad

$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k^2+\sum_{k=1}^{+\infty} b_k^2= \|f\|^2$,

donde $a_k$ y $b_k$ son los coeficientes de Fourier de $f$. Hay que notar que la serie que aparece a la izquierda de la igualdad es la misma que la de la desigualdad de Bessel, pero en el caso estudiado la desigualdad se convierte en igualdad. Esto se debe a que el espacio en cuestión es completo (la serie de Fourier converge en norma), ya que por Pitágoras se tiene

$\|S_n(f)\|^2+\|f-S_n(f)\|^2=\|f\|^2$,

y como $\|f-S_n(f)\|\to 0$ se tiene la igualdad en el límite.