Hola. La respuesta es que sí, de hecho es el primer paso de la prueba en las notas.

Lo que pasó es que primero escribí el teorema 3.12 y después fue que encontré esa prueba simple del teorema del elemento primitivo y la incorporé a las notas, pero no me avivé de que se podía usar para la prueba del teo. 3.12.

Sin embargo la prueba que está del teo. 3.12 es más conceptual y en el fondo es lo que a veces se hace para encontrar los morfismos del grupo de Galois, así que vale la pena tenerla en cuenta. Pero como justificación de la validez del teorema, lo que vos decís está bárbaro.