Curso: Anillos y Módulos 2021

Geral

¡Hola!

Este espacio será utilizado como apoyo al curso, que se desarrollará via clases sincrónicas por zoom, que además serán grabadas y publicadas aquí.

Será una herramienta esencial para la comunicación entre todos los integrantes del curso.

En esta página encontrarán:

Información general del curso: programa, bibliografía, hojas de práctico, notas, grabación de clases, método de aprobación.
Avance del curso y resultados de las pruebas.
Un foro de consultas, para discutir problemas (lo hice de suscripción forzosa para que todos estemos).
Un foro de avisos para que los docentes puedan ir enviando novedades relevantes.

Atención: Es imprescindible matricularse en este curso para aprobarlo. La matriculación no solicita contraseña.

Notas completas del curso: Anillos y Módulos Arquivo
Programa y Bibliografía Arquivo
Avisos Fórum
Consultas Fórum
Edición Notas Fórum
Docentes, horarios y salones Página
Método de aprobación Página
Eventual presencialidad Pesquisa

Algunos estudiantes preguntaron sobre la posibilidad de intentar la presencialidad este semestre.
De ser posible (la decisión última es de Facultad), sería sólo en las clases de Mariana, porque Paula no estará en el país a partir de setiembre. A veces cambiamos el horario de las clases de Paula (con previo aviso), por eso vamos a preguntar sobre los tres horarios. Tengan en cuenta, a la hora de responder, que si tienen alguna clase virtual poco tiempo antes o después deberían llevarse un dispositivo personal para asistir a esa clase, sobre esto vamos a preguntar también, para intentar la posibilidad de obtener un espacio para que puedan conectarse.
Por otra parte, las clases seguirían siendo transmitidas por zoom y grabadas.
Para saber la pertinencia de realizar un tal pedido y la viabilidad de obtener una respuesta positiva, les pedimos que respondan a esta encuesta (cierra el martes próximo, cuantos más respondan, más fiel la información que manejaremos, claro está).

16 agosto - 22 agosto

Tema a tratar esta semana: Generalidades de Grupos

Material: Notas capítulo 1, Repartido 1

Clase del martes 17/08: (para todas las clases grabadas la contraseña es aymod2021@ )

Grupos: definición, ejemplos, unicidades https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/cYKefITYbOKlM39GVI2pCK7b8OVi2pArRWPVurg5HNi1uMYxjMKy8sjR2pEkoMoU.579qrXuxUrygjXVN?startTime=1629212464000

Subgrupos, intersección, producto cartesiano: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/cYKefITYbOKlM39GVI2pCK7b8OVi2pArRWPVurg5HNi1uMYxjMKy8sjR2pEkoMoU.579qrXuxUrygjXVN?startTime=1629214204000

Morfismos de grupos, núcleo, imagen, generalidades: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/cYKefITYbOKlM39GVI2pCK7b8OVi2pArRWPVurg5HNi1uMYxjMKy8sjR2pEkoMoU.579qrXuxUrygjXVN?startTime=1629215018000

Clase del jueves 19/08:

Grupos abelianos, definición y generalidades https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/EVRvHcRMI4aY2uxfjk-g6U9vT-bhzmhbs0CTfrdv91fhGKKbf0r-U6zZR_qN_EYb.SuelaxXkIsr0AEkI?startTime=1629383642000

Suma de subgrupos de un grupo abeliano y relación con el producto cartesiano https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/EVRvHcRMI4aY2uxfjk-g6U9vT-bhzmhbs0CTfrdv91fhGKKbf0r-U6zZR_qN_EYb.SuelaxXkIsr0AEkI?startTime=1629384042000

Espacio cociente: definición, ejemplos https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/EVRvHcRMI4aY2uxfjk-g6U9vT-bhzmhbs0CTfrdv91fhGKKbf0r-U6zZR_qN_EYb.SuelaxXkIsr0AEkI?startTime=1629385001000

Propiedad universal del cociente y corolarios: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/EVRvHcRMI4aY2uxfjk-g6U9vT-bhzmhbs0CTfrdv91fhGKKbf0r-U6zZR_qN_EYb.SuelaxXkIsr0AEkI?startTime=1629386536000

Subgrupos del cociente: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/EVRvHcRMI4aY2uxfjk-g6U9vT-bhzmhbs0CTfrdv91fhGKKbf0r-U6zZR_qN_EYb.SuelaxXkIsr0AEkI?startTime=1629388787000

Clase de práctico del jueves 19/08: Trabajamos sobre los ejercicios 5 y 6 (ver imágenes debajo).

23 agosto - 29 agosto

Tema a tratar esta semana: Generalidades de Anillos

Material: Notas capítulo 2, Repartido 1

Clase del martes 24/08:

Anillos, definición, ejemplos y observaciones primeras https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/lLYEi6wU-Gc8Js0geayvQxj_ioBATiAH9f3gY86KeYb0bsOqEl3nAnKmSJsFcf5f.kiT-3OccHlAE5zfm?startTime=1629815529000

Invertibles y divisores de cero https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/lLYEi6wU-Gc8Js0geayvQxj_ioBATiAH9f3gY86KeYb0bsOqEl3nAnKmSJsFcf5f.kiT-3OccHlAE5zfm?startTime=1629818631000

Subanillos y morfismos de anillos https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/lLYEi6wU-Gc8Js0geayvQxj_ioBATiAH9f3gY86KeYb0bsOqEl3nAnKmSJsFcf5f.kiT-3OccHlAE5zfm?startTime=1629820188000

Clase del jueves 26/08:

Anillo de series formales https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/LmKayw4QP_R2Rx95GDmc27pTzDI-cdlnL2P2k6CwRQ7JJze_EcaYjnOoA9fmQqRa.NLhtRxSW2qlDNUm7?startTime=1629988770000

Anillo de polinomios y subanillo generado (es el subanillo generado por $A\cup \{x\}$ *dije algo mal en clase

https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/a9_s6lW95wygrvmbo0yFskALxaS9XTnqJKu_V0tivjWiw8tsZ2CpbGtAXQL_ZHex.eYSETtiLkb1JhYPa?startTime=1629991076000

Propiedad universal del anillo de polinomios, y anillos de series formales y polinomios en varias variables https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/LmKayw4QP_R2Rx95GDmc27pTzDI-cdlnL2P2k6CwRQ7JJze_EcaYjnOoA9fmQqRa.NLhtRxSW2qlDNUm7?startTime=1629991717000

Clase de práctico del jueves 26/08: En la clase de hoy trabajamos subgrupos de $\mathbb{Z}$ y grupo cociente; debajo hay imágenes que registran parte de lo ocurrido en clase. Resolvimos el ejercicio 1. También discutimos distintas formas de resolver el ejercicio 4. Para una de ellas, probamos dos resultados sobre los subgrupos de $\mathbb{Z}$ que tienen interés en sí mismos: que todos los subgrupos no triviales de $\mathbb{Z}$ son de la forma $n\mathbb{Z}$ para algún $n\in\mathbb{Z}^{\geq 0}$ , y que dados $m,n\in\mathbb{Z}^{\geq 0}$ , se cumple $m\mathbb{Z}\subset n\mathbb{Z}$ si y sólo si $n|m$ (registro de estos ejercicios se encuentran en el archivo "sobre subgrupos de Z", gracias Melina por compartir tus notas). Finalmente, discutimos el ejercicio 7.

30 agosto - 5 setembro

Tema a tratar esta semana: Ideales, anillo cociente

Material: Notas capítulo 2, Repartido 2

Clase del martes 31/08: Dedicamos esta clase al práctico 2; ejercicios que fueron trabajados por al menos un subgrupo de ustedes fueron los ejercicios 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Algunos compañeros escribieron soluciones para compartir, que pueden encontrar en los archivos debajo.

Clase del jueves 2/09:

Motivación y definición de ideal https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630587769000

Ideales de Z: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630588732000

Observaciones primeras: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630589243000

Ideales en anillos de matrices: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630589602000

Ideales en anillos con división y en cuerpos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630590655000

Ideales y morfismos de anillos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630591821000

Intersección e ideal generado: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630593317000

Suma de ideales: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630594452000

Producto de ideales: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630594993000

Ideales maximales: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630595401000

Existencia de ideales maximales: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630596323000 (ojo que faltó poner de hipótesis $X\neq \emptyset$ en el Lema de Zorn)

Anillo cociente y caracterización de cuerpos con el cociente: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/A5fGkD8fiS7n4mX9t6tTwJl9blp96z82L3L_-4pmlsz-5bBOJO-fpsaQqNdRu2Gb.J4e5fXgiFUHD3znc?startTime=1630597354000

6 setembro - 12 setembro

Material: Notas capítulo 2, Repartido 3

Clase del martes 7/09:

Ejemplos de ideales maximales: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/h0rMD2MMg9-uf8SgXY8XDbR1xxWXoYs-TDTqe_AR97iu-KiZZegiQbGb_skqClc.CYbhwFpCpC9m3QIW?startTime=1631025320000

Comentarios: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/h0rMD2MMg9-uf8SgXY8XDbR1xxWXoYs-TDTqe_AR97iu-KiZZegiQbGb_skqClc.CYbhwFpCpC9m3QIW?startTime=1631027370000

Ideales primos en anillos conmutativos: motivación, definición, ejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/h0rMD2MMg9-uf8SgXY8XDbR1xxWXoYs-TDTqe_AR97iu-KiZZegiQbGb_skqClc.CYbhwFpCpC9m3QIW?startTime=1631027559000

Suma directa: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/gqZRj7M0dFEJNXOPvkfvMp6d1fEQ2JbotmPSw0owmmMD-y8xm1L-VWvfpYU9ti8.b04ycF0wZI8vwOmn?startTime=1631028815000

Comentarios (algo erráticos) sobre ejercicios 5 y 6 del Repartido 3: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/gqZRj7M0dFEJNXOPvkfvMp6d1fEQ2JbotmPSw0owmmMD-y8xm1L-VWvfpYU9ti8.b04ycF0wZI8vwOmn?startTime=1631029285000. Vamos a volver sobre esto el jueves próximo.

Clase del jueves 09/09:

Comentarios y ejemplos alusivos a los ejercicios 4 y 5 del Repartido 3: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/s3y6mT0SiC068oqpLJtDftUt2-zyers2sAobhqbx9gIIva_TYRp4wBPebyPuz0Zn.2u8NTapKvSyWatzE?startTime=1631199651000

Cuerpo de fracciones de un dominio: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/s3y6mT0SiC068oqpLJtDftUt2-zyers2sAobhqbx9gIIva_TYRp4wBPebyPuz0Zn.2u8NTapKvSyWatzE?startTime=1631202644000

Clase de práctico del jueves 09/09: Trabajamos el ejercicio 9, y observamos que muestra que los ideales están definidos de manera óptima para realizar cocientes. En el resto de la clase estudiamos ideales de anillos de matrices, especialmente los ejercicios 7 y 10. Debajo dejo registros de lo que algunos compañeros nos contaron.

13 setembro - 19 setembro

Tema a tratar esta semana: anillos de fracciones y divisibilidad

Material: Notas capítulo 2 y 3, Repartido 4

Clase del martes 14/09: (la primera grabación se escucha más o menos, después mejora)

Cuerpo de fracciones, repaso y ejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/KPN1gE2hZx346-yT2ZD88ExNygwk8_CAsJ487apNh8YHHN99BvsV8NIcWeN3SwhG.3jNJIbZnucOdYY0S?startTime=1631629923000

Anillos de fracciones: definición

Morfismo canónico del anillo en su anillo de fracciones: definición e inyectividad https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/KPN1gE2hZx346-yT2ZD88ExNygwk8_CAsJ487apNh8YHHN99BvsV8NIcWeN3SwhG.3jNJIbZnucOdYY0S?startTime=1631631198000

Ejemplos de anillos de fracciones: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/KPN1gE2hZx346-yT2ZD88ExNygwk8_CAsJ487apNh8YHHN99BvsV8NIcWeN3SwhG.3jNJIbZnucOdYY0S?startTime=1631631835000

Caso del complemento de un ideal primo: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/KPN1gE2hZx346-yT2ZD88ExNygwk8_CAsJ487apNh8YHHN99BvsV8NIcWeN3SwhG.3jNJIbZnucOdYY0S?startTime=1631632737000

Otro ejemplo y Propiedad universal del anillo de fracciones. Caso en que el morfismo canónico es isormofismo. Definición de anillo local, proposición que los caracteriza y ejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/KPN1gE2hZx346-yT2ZD88ExNygwk8_CAsJ487apNh8YHHN99BvsV8NIcWeN3SwhG.3jNJIbZnucOdYY0S?startTime=1631633667000

Aclaración, en $Z\times Z$ que anda por ahí flotando, los no divisores de cero no nulos, coinciden con los no invertibles, en eso es como $Z_6$, no tiene gracias considerar el conjunto multiplicativo de los no divisores de cero no nulos para generar nuevos invertibles. Vamos a hacer algunos comentarios sobre esto durante la clase que viene.

Clase del jueves 16/09:

Comentario sobre ejemplos de la clase anterior. Relación de dividir a en dominios, elementos asociados, elementos primos e irreducibles: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/-3Qpn3rt0e-cQF8XrHXVquJ25HHjy0p-Dnp44NIscs4wOV6rVJg_yaAyl8v5mOAe.uoSyK2C3gseEJj5X?startTime=1631803435000

Elementos primos e irreducibles: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/-3Qpn3rt0e-cQF8XrHXVquJ25HHjy0p-Dnp44NIscs4wOV6rVJg_yaAyl8v5mOAe.uoSyK2C3gseEJj5X?startTime=1631805543000

Irreducible no implica primo, primo implica irreducible, traducción a ideales principales: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/-3Qpn3rt0e-cQF8XrHXVquJ25HHjy0p-Dnp44NIscs4wOV6rVJg_yaAyl8v5mOAe.uoSyK2C3gseEJj5X?startTime=1631806148000

Máximo común divisor: definición, existencia, unicidad: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/-3Qpn3rt0e-cQF8XrHXVquJ25HHjy0p-Dnp44NIscs4wOV6rVJg_yaAyl8v5mOAe.uoSyK2C3gseEJj5X?startTime=1631807617000

Clase de práctico del jueves 16/09: Trabajamos sobre el ejercicio 4, y pusimos en común la forma de resolverlo mediante propiedades universales. También se trabajó en los ejercicios 6 y 7.

20 setembro - 26 setembro

Clase del martes 21/09:

Repaso primos e irreducibles: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/pT09AqtewWplWpYFzlUQXgAPn42Ln8NxZXgQCjjGeG7Sl7-zqABkFl7xNEaeu0G3.tLVDfrk8_1tb9IQp?startTime=1632234946000

Definición de DFU y ejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/pT09AqtewWplWpYFzlUQXgAPn42Ln8NxZXgQCjjGeG7Sl7-zqABkFl7xNEaeu0G3.tLVDfrk8_1tb9IQp?startTime=1632235153000

Condición de unicidad es equivalente a primo implica irreducile: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/pT09AqtewWplWpYFzlUQXgAPn42Ln8NxZXgQCjjGeG7Sl7-zqABkFl7xNEaeu0G3.tLVDfrk8_1tb9IQp?startTime=1632236172000

DIP, dominios euclídeos, anillos de polinomios, noetherianidad: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/pT09AqtewWplWpYFzlUQXgAPn42Ln8NxZXgQCjjGeG7Sl7-zqABkFl7xNEaeu0G3.tLVDfrk8_1tb9IQp?startTime=1632237170000

Clase del jueves 23/09:

Panorama de ejemplos y contraejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/PAqd3tT7WecH_-f6a_PHTu0EtTqgWLzkacjNbSlyOsvSvtHPfs03ZBj4J6oC6ZXr.2OokBfzByBM0gzLf?startTime=1632407730000

Anillo de polinomios en infinitas variables: no noetherianidad: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/PAqd3tT7WecH_-f6a_PHTu0EtTqgWLzkacjNbSlyOsvSvtHPfs03ZBj4J6oC6ZXr.2OokBfzByBM0gzLf?startTime=1632408964000

Anillo de polinomios en infinitas variables: es dominio de factorización única:https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/PAqd3tT7WecH_-f6a_PHTu0EtTqgWLzkacjNbSlyOsvSvtHPfs03ZBj4J6oC6ZXr.2OokBfzByBM0gzLf?startTime=1632409349000

Definicion de anillo noetheriano, un dominio noetheriano donde todo irreducible es primo es un dfu: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/PAqd3tT7WecH_-f6a_PHTu0EtTqgWLzkacjNbSlyOsvSvtHPfs03ZBj4J6oC6ZXr.2OokBfzByBM0gzLf?startTime=1632410755000

Máximo común divisor en dfu y en dip, identidad de Bézout: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/PAqd3tT7WecH_-f6a_PHTu0EtTqgWLzkacjNbSlyOsvSvtHPfs03ZBj4J6oC6ZXr.2OokBfzByBM0gzLf?startTime=1632412495000

Comentarios del final de la clase y vuelta a mirar el panorama del principio: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/PAqd3tT7WecH_-f6a_PHTu0EtTqgWLzkacjNbSlyOsvSvtHPfs03ZBj4J6oC6ZXr.2OokBfzByBM0gzLf?startTime=1632413063000

Clase de práctico del jueves 23/09:

27 setembro - 3 outubro

Clase del martes 28:

Antes que nada disculpas.

Primero porque la clase no pudo grabarse bien. Mi computadora murió, usamos la que Elena nos prestó gentilmente, no quedó bien configurado para que saliera el pizarrón, y aparece el clon de Santi metiéndose el dedo en la nariz (del clon de Santi vale decir lo que queramos). Jajjaa, y Luciana comiendo semillitas de girasol o algo así (esto sí es cierto). Voy a ser precisa sobre lo que hicimos en lo que sigue, y referirme a las notas (páginas 8 a 10 de las notas, actualizadas hoy). Y aclaro que no volverá a pasar. Primera y última vez.

Segundo porque subí ayer martes de tarde temprano lo que hicimos en clase y por alguna razón quedó guardado en otra semana, y recién me entero por Brian que no lo veía.

Ejemplo de dominio en donde no existe la descomposición en irreducibles: ver comentario en el foro de consultas

Polinomios como funciones. Grado de un polinomio, raíces de un polinomio, ley del resto: página 9 y parte de la 10 en las notas.

Contenido de un polinomio, polinomios primitivos, lema de Gauss: páginas 10 y 11 de las notas.

Criterio de la raíz racional: página 12 en las notas

Clase del jueves 30:

Corolario del teo de la raíz racional, Teorema de la base de Hilbert: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/5-H6YdJXXwOrvqyiLRCPohpA0vB2wEFoGTrv7zP_1RJdaw3UwRpRE_GjFkokOkSQ.1wNJ5IdxdjzFOHR-?startTime=1633010820000

Invertibles en $D, D[x], \Bbbk[x]$ . (Esto último se resume en el criterio de irreducibilidad de Gauss.) Criterio de irreducibilidad de Einsenstein. https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/5-H6YdJXXwOrvqyiLRCPohpA0vB2wEFoGTrv7zP_1RJdaw3UwRpRE_GjFkokOkSQ.1wNJ5IdxdjzFOHR-?startTime=1633013536000

Para un polinomio $f\in D[x]$ , primalidad en $D[x]$ vs primalidad en $D$ (si $f$ es constante) o en $\Bbbk[x]$ (si no)- Notar que la prueba de primo en $D[x]$ implica primitivo y primo en $\Bbbk[x]$ se deduce inmediatamente usando el resultado para irreducibles y que $\Bbbk[x]$ es un dominio a ideales principales por lo que la prueba hecha en clase no es la óptima. https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/5-H6YdJXXwOrvqyiLRCPohpA0vB2wEFoGTrv7zP_1RJdaw3UwRpRE_GjFkokOkSQ.1wNJ5IdxdjzFOHR-?startTime=1633015908000

Clase de práctico del jueves 30: (Esta clase fue un poco más corta, de una hora.) Empezamos pensando en DFUs, con el ejercicio 2 (en el link se puede ver un video de Juan resolviéndolo), también comentamos algunos criterios de irreducibilidad y los aplicamos a algunos polinomios del ejercicio 13.

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4 outubro - 10 outubro

Tema a tratar esta semana: Cierre primera parte y repaso previo al parcial

Material: Notas capítulo 1,2,3, Repartidos 1,2,3,4,5

Clase del martes 5/10: Si $D$ es un DFU, entonces $D[x]$ también: demostración y consecuencias. https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/KJCzPHSSMfdkEQudHV1tpevdEhE6vH0dVNsIXApIjEOitmt589MP0o_sLtSkMp4.QGWWjoWSstJEhdic?startTime=1633444790000

Clase del jueves 7/10: Clase de Repaso. Tengo que pedir disculpas pero obligué grabarla. Trabajamos fundamentalmente sobre el ejercicio que trata los ideales de $S^{-1}A$ y sobre el que trata el de $Nil(A)$ , proponiendo dos soluciones.

Sábado 9: Parcial 1, de 10 a 14, salón 102/104 de Facultad. Presencial.

Parcial 1: Anillos Tarefa

11 outubro - 17 outubro

Martes 12/10

Módulos: motivación y definición: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/TbMn2DLjMwagZdWn2qwREICHTYWoSsPpFM98diqCb-e934MCbwJ708a7ik-K3PPn.WUwR9G5a9_MhkBKk?startTime=1634050173000

Ejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/TbMn2DLjMwagZdWn2qwREICHTYWoSsPpFM98diqCb-e934MCbwJ708a7ik-K3PPn.WUwR9G5a9_MhkBKk?startTime=1634050984000

Algunas observaciones: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/ETRaD8k-MG9sd9JbIwDpCJJHGOQzOQ17dlwhBzTxC-4tZ8vYNPA7GhB2kE8tQVuo.xp0gzK5EH23Fm-Lr?startTime=1634052182000

Submódulos y morfismos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/ETRaD8k-MG9sd9JbIwDpCJJHGOQzOQ17dlwhBzTxC-4tZ8vYNPA7GhB2kE8tQVuo.xp0gzK5EH23Fm-Lr?startTime=1634053620000

Preservación y reflexión de submódulos, núcleo e imagen: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/ETRaD8k-MG9sd9JbIwDpCJJHGOQzOQ17dlwhBzTxC-4tZ8vYNPA7GhB2kE8tQVuo.xp0gzK5EH23Fm-Lr?startTime=1634054036000

Anuncio: próxima clase (jueves 14) es de teórico, con base en algún ejercicio del Repartido 6, que pueden empezar a pensar hoy. Además hay una observación sobre los submódulos. https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/ETRaD8k-MG9sd9JbIwDpCJJHGOQzOQ17dlwhBzTxC-4tZ8vYNPA7GhB2kE8tQVuo.xp0gzK5EH23Fm-Lr?startTime=1634054719000

Jueves 14/10

Morfismos de A-módulos retomados: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/_NgA0gagA9tISzI-xZmMSeucYCIwMIBn_NCliplw5Xy6ulzMGfX6LBUk3aQYuTpS.gzzqy-C4NGZLXRUa?startTime=1634217170000

Producto directo, suma directa, submódulo generado: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/_NgA0gagA9tISzI-xZmMSeucYCIwMIBn_NCliplw5Xy6ulzMGfX6LBUk3aQYuTpS.gzzqy-C4NGZLXRUa?startTime=1634220252000

Más de submódulo generado: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/_NgA0gagA9tISzI-xZmMSeucYCIwMIBn_NCliplw5Xy6ulzMGfX6LBUk3aQYuTpS.gzzqy-C4NGZLXRUa?startTime=1634222762000

Algo sobre el ejercicio 5, y definición de suma (interna) de submódulos, relación con suma directa: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/_NgA0gagA9tISzI-xZmMSeucYCIwMIBn_NCliplw5Xy6ulzMGfX6LBUk3aQYuTpS.gzzqy-C4NGZLXRUa?startTime=1634224528000

Cociente: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/_NgA0gagA9tISzI-xZmMSeucYCIwMIBn_NCliplw5Xy6ulzMGfX6LBUk3aQYuTpS.gzzqy-C4NGZLXRUa?startTime=1634225425000

18 outubro - 24 outubro

Clase del martes 19/10:

Comentarios sobre el curso. Conjuntos li, ld y bases: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/XW5S4esM4OncgfMTqbW-Yu47oKbjWmZdQQ_Tq4AKS93v-jp9DJ8-7glP-WQ355uW.jFQEbWwrJcciW8t2?startTime=1634654065000

La función mu y sus propiedades: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/XW5S4esM4OncgfMTqbW-Yu47oKbjWmZdQQ_Tq4AKS93v-jp9DJ8-7glP-WQ355uW.jFQEbWwrJcciW8t2?startTime=1634655562000

Una versión en módulos del teorema de las dimensiones: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/XW5S4esM4OncgfMTqbW-Yu47oKbjWmZdQQ_Tq4AKS93v-jp9DJ8-7glP-WQ355uW.jFQEbWwrJcciW8t2?startTime=1634656660000

Anulador de un conjunto, definición y propiedades: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/XW5S4esM4OncgfMTqbW-Yu47oKbjWmZdQQ_Tq4AKS93v-jp9DJ8-7glP-WQ355uW.jFQEbWwrJcciW8t2?startTime=1634656931000

Módulos generados por un conjunto li: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/XW5S4esM4OncgfMTqbW-Yu47oKbjWmZdQQ_Tq4AKS93v-jp9DJ8-7glP-WQ355uW.jFQEbWwrJcciW8t2?startTime=1634658390000

Módulos libres, definición y caracterización: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/XW5S4esM4OncgfMTqbW-Yu47oKbjWmZdQQ_Tq4AKS93v-jp9DJ8-7glP-WQ355uW.jFQEbWwrJcciW8t2?startTime=1634658858000

Clase del jueves 21/10:

Propiedad universal del módulo libre, módulos sobre anillos con división, número de base invariante, ejemplos. Caso de bases infinitas:

https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/B62w1xUhIxaFqzG_CrG-wfFKlEskQ5FeGMd9BshM-O6JrnizjPgojDl1T8gioBb3.SSyYAoLJ9PqNcC7g?startTime=1634827226000

Ejercicio 10 Repartido 7: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/B62w1xUhIxaFqzG_CrG-wfFKlEskQ5FeGMd9BshM-O6JrnizjPgojDl1T8gioBb3.SSyYAoLJ9PqNcC7g?startTime=1634828952000

Todo anillo conmutativo tiene NBI: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/B62w1xUhIxaFqzG_CrG-wfFKlEskQ5FeGMd9BshM-O6JrnizjPgojDl1T8gioBb3.SSyYAoLJ9PqNcC7g?startTime=1634830236000

Un morfismo de módulos que preserva conjuntos li y no es inyectivo: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/B62w1xUhIxaFqzG_CrG-wfFKlEskQ5FeGMd9BshM-O6JrnizjPgojDl1T8gioBb3.SSyYAoLJ9PqNcC7g?startTime=1634831370000

Clase de práctico del jueves 21/10: Trabajamos los ejercicios 3, 10 y 15.

25 outubro - 31 outubro

Clase del martes 26/10:

Motivación a sucesiones exactas cortas: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/rJN9VOTCbmHk5M7egwLNhQoABQQJCYNHcSBRiCnS0rrmS6154CloCjOXiEGlUGmp._ZB_VY9v-c3qZ5RF?startTime=1635257928000

Definición de SEC y ejemplos: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/rJN9VOTCbmHk5M7egwLNhQoABQQJCYNHcSBRiCnS0rrmS6154CloCjOXiEGlUGmp._ZB_VY9v-c3qZ5RF?startTime=1635258476000

Lema de los tres: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/OlOYr1kwtdIL_xmdA6HGg0KWqfX0_aXEdHG0kPtI0svDeiacoMHEnPjTq8L1hxKb.52acXPlx51gYktMa?startTime=1635259845000

SEC isomorfas y equivalentes: ejemplos. Y Teorema que caracteriza/define a las sec que escinden: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/OlOYr1kwtdIL_xmdA6HGg0KWqfX0_aXEdHG0kPtI0svDeiacoMHEnPjTq8L1hxKb.52acXPlx51gYktMa?startTime=1635261611000

Clase del jueves 28/10

Micromotivación al producto tensorial y módulo libre generado por un conjunto: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/QXt-zb9TQNAehLz7pC8sIvbB55wORL6KlufFcaHoOEtgjI9xx5tBJpiGp6mFVma8.wBkxrjkGLf5LAjZA?startTime=1635431803000

Motivación y definición del producto tensorial de dos módulos, propiedad universal: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/QXt-zb9TQNAehLz7pC8sIvbB55wORL6KlufFcaHoOEtgjI9xx5tBJpiGp6mFVma8.wBkxrjkGLf5LAjZA?startTime=1635432851000

Ejemplos y propiedades: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/QXt-zb9TQNAehLz7pC8sIvbB55wORL6KlufFcaHoOEtgjI9xx5tBJpiGp6mFVma8.wBkxrjkGLf5LAjZA?startTime=1635435839000

Clase de práctico del jueves 28/10: Esta semana trabajamos en la primera parte del repartido 7.

1 novembro - 7 novembro

Martes 2: feriado

Jueves 4:

Presentación de lo que queda del curso: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/-wsIQ-DLYTp5vZO62pfKC_-1cJX4pf660n6wpMtjNyYkJEQQG61KwT2pnnV7_Sg7.OQpxqvr3gUTOh1wd?startTime=1636036562000

Submódulos de un módulo finitamente generado (sobre un anillo noetheriano, sobre un dip): https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/-wsIQ-DLYTp5vZO62pfKC_-1cJX4pf660n6wpMtjNyYkJEQQG61KwT2pnnV7_Sg7.OQpxqvr3gUTOh1wd?startTime=1636036751000

Submódulos de un módulo libre: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/sjUuCuY06BRdUlyUBAaf99OtCSW5dmN4ckk6EjPzVlZQ2PATaN1842j_K7x8LHvD.OdgVKj2kccIcnVIG?startTime=1636038320000

Torsión de un módulo: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/sjUuCuY06BRdUlyUBAaf99OtCSW5dmN4ckk6EjPzVlZQ2PATaN1842j_K7x8LHvD.OdgVKj2kccIcnVIG?startTime=1636039201000

Ejemplos de Tor(M): https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/sjUuCuY06BRdUlyUBAaf99OtCSW5dmN4ckk6EjPzVlZQ2PATaN1842j_K7x8LHvD.OdgVKj2kccIcnVIG?startTime=1636040785000

Propiedades de Tor(M) sobre un dominio y particularidad sobre un dip: https://salavirtual-udelar.zoom.us/rec/share/sjUuCuY06BRdUlyUBAaf99OtCSW5dmN4ckk6EjPzVlZQ2PATaN1842j_K7x8LHvD.OdgVKj2kccIcnVIG?startTime=1636040785000

Clase de práctico del jueves 04/11: Esta semana trabajamos en la segunda parte del repartido 7: relación entre módulos libres y proyectivos, y sucesiones exactas cortas.