Ahí va. La estrategia en general sería la siguiente.
Al inicio tenés una integral de la forma
y otra de la forma
. Entonces, cuando querés la aproximación en
escribís
y probás que el segundo término es pequeño con respecto al primero, al igual que
. Cuando querés hacer la aproximación de
entonces escribís
como una expansión en
y
y escribís el segundo término como una expansión en
. En este ejercicio hay que quedarse sólo hasta el orden
.
Al inicio tenés una integral de la forma
![I(r)=\int_0^r f(r')dr' I(r)=\int_0^r f(r')dr'](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/115ebdff5f37be7ec130a24b36428a29.gif)
![J(r')=\int_r^\infty g(r')dr' J(r')=\int_r^\infty g(r')dr'](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/596ca212d8bfde60cf6ea6135ef5a35a.gif)
![r\to\infty r\to\infty](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/f35c5e849aa80473f6b6dfa8b3e5a07d.gif)
![I(r)=\int_0^\infty f(r')dr'-\int_r^\infty f(r')dr' I(r)=\int_0^\infty f(r')dr'-\int_r^\infty f(r')dr'](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/206d5602fba05e1978729a43b0e5f651.gif)
![J(r) J(r)](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/30eb72f50b44187c83cf5a0c161f4463.gif)
![r r](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)
![I(r) I(r)](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/fcfbdeffc1db293cc69992e325329273.gif)
![r r](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)
![J(r)=\int_0^\infty g(r')dr'-\int_0^r g(r')dr' J(r)=\int_0^\infty g(r')dr'-\int_0^r g(r')dr'](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/5448f9b29ed0e56fc1e6898afe4937a4.gif)
![r r](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.gif)
![r^2 r^2](https://eva.fcien.udelar.edu.uy/filter/tex/pix.php/294ce890c4a3b9529d80d402420ecd46.gif)
De forma alternativa, en este ejemplo ambas integrales pueden resolverse de forma exacta integrando por partes (varias veces). Entonces se puede hacer la aproximación luego del cálculo.