Teoría Electromagnética 2021: Sobre la entrega del ejercicio 11 del práctico 2.

Hola a todas y todos.

La mayoría de ustedes encaró muy bien este ejercicio e hicieron bien los cálculos, pero hay un aspecto conceptual que quiero remarcar sobre las series de Fourier y que vale para cualquier desarrollo ortogonal (por ejemplo los desarrollos es armónicos esféricos que estamos usando bastante en el curso).

Cuando les queda una expresión de la forma

$\sum_{n=0}^{\infty} A_n\sin(\frac{n\pi x}{L}) + B_n\cos(\frac{n\pi x}{L})=f(x)$

en un intervalo acotado,primero tienen que asegurarse que el conjunto sea completo. En el caso de las series de Fourier eso significa que el intervalo de interés es de longitud

$2L$ .

Luego, la manipulación formal para obtener el coeficientes

$A_{n'}$ consiste en multiplicar por

$\sin(\frac{n'\pi x}{L})$ de ambos lados e integrar en el intervalo

$2L$ . Así

$\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{2L}A_n\sin(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{n'\pi x}{L}) + B_n\cos(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{n'\pi x}{L})dx=\int_0^{2L}f(x)\sin(\frac{n'\pi x}{L})dx.$

Usando la ortogonalidad de ese conjunto de funciones sólo sobrevive un término de la suma

$A_{n'} L=\int_0^{2L}f(x)\sin(\frac{n'\pi x}{L})dx.$

Decimos que es un procedimiento formal porque la conmutación de la suma y la integral no está garantizada siempre. Sin embargo, la última expresión es una definición de la serie de Fourier y su convergencia (en diferentes sentidos) está dada por teoremas de convergencia que vieron en ecuaciones diferenciales y que dependen de las propiedades de

$f$ . Esto que estoy diciendo lo deberían tener claro para encarar esta parte del curso y noté ciertos errores o dudas durante la corrección que me hacen sugerirles que repasen estas ideas.

Saludos, Rodrigo.